Examkin

Question

Difficulty: Very hardÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
log⁡13(x2−2x)+1log⁡2(x−1)−2≤0\frac{\log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 2x) + 1}{\log_2(x - 1) - 2} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan en küçük üç farklı pozitif tam sayının toplamı kaçtır?
  1. A
    11
  2. B
    14
  3. C
    15
  4. 16Answer
  5. E
    21

Answer

Eşitsizliği sağlayan en küçük üç farklı pozitif tam sayının toplamı 16'dır.
Eşitsizliğin tanım kümesi D=(2,∞)D = (2, \infty) olup, payın kökü 33 (dahil) ve paydanın kökü 55 (hariç) noktalarıdır. İşaret tablosu yapıldığında negatif bölgeler (2,3](2, 3] ve (5,∞)(5, \infty) aralıklarıdır. Bu aralıklardaki en küçük üç pozitif tam sayı 3,6,73, 6, 7 olup toplamları 16'dır.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesini belirleme
Tanım kümesi D=(2,∞)D = (2, \infty) aralığıdır.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin pozitif olması gerekir. x2−2x>0  ⟹  x<0x^2 - 2x > 0 \implies x < 0 veya x>2x > 2 ve x−1>0  ⟹  x>1x - 1 > 0 \implies x > 1 koşullarının kesişimi alınır.
2
Pay ve paydanın köklerini bulma
Payın tanımlı kökü x=3x = 3, paydanın kökü ise x=5x = 5 olarak elde edilir.
Payın sıfıra eşitlenmesiyle log⁡1/3(x2−2x)=−1  ⟹  x2−2x=3  ⟹  x=3\log_{1/3}(x^2 - 2x) = -1 \implies x^2 - 2x = 3 \implies x = 3 (diğer kök −1-1 tanım kümesi dışındadır). Paydanın sıfıra eşitlenmesiyle log⁡2(x−1)=2  ⟹  x−1=4  ⟹  x=5\log_2(x - 1) = 2 \implies x - 1 = 4 \implies x = 5 elde edilir.
3
İşaret tablosu oluşturma
İşaretler sırasıyla (2,3](2, 3] aralığında negatif, (3,5)(3, 5) aralığında pozitif, (5,∞)(5, \infty) aralığında negatif olur.
Tanım kümesi olan (2,∞)(2, \infty) üzerinde kökler 33 ve 55 noktalarına göre işaret inceleir. Eşitsizliğin ≤0\leq 0 olması istendiğinden çözüm kümesi S=(2,3]∪(5,∞)S = (2, 3] \cup (5, \infty) olarak belirlenir.
4
Koşulu sağlayan tam sayıları belirleme ve toplama
Toplam 3+6+7=163 + 6 + 7 = 16 bulunur.
Çözüm kümesindeki en küçük üç pozitif tam sayı 33 (dahil), 66 (açık aralıktan sonraki ilk tam sayı) ve 77 sayılarıdır.

Key Concept

Logaritmik eşitsizliklerde tanım kümesi sınırlamaları ve işaret tablosu yöntemi
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

More questions from this topic