Examkin

Question

Difficulty: HardParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
f(x)={∣x2−9∣x−3+ax,x<3x2−2ax+a2−1,x≥3f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 9|}{x - 3} + ax, & x < 3 \\ x^2 - 2ax + a^2 - 1, & x \ge 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında limiti vardır.

Buna göre, aa gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Answer: 9

Answer

aa gerçel sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 9'dur.
Fonksiyonun x=3x = 3 noktasında limitinin olması için soldan limiti olan 3a−63a - 6 ile sağdan limiti olan a2−6a+8a^2 - 6a + 8 değerleri birbirine eşit olmalıdır. Buradan elde edilen a2−9a+14=0a^2 - 9a + 14 = 0 denkleminin kökleri 22 ve 77 olup, bu değerlerin toplamı 99 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Limit varlığı şartını belirleme
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3+f(x)\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) olmalıdır.
Bir fonksiyonun parçalı tanımlandığı sınır noktasında limitinin olması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir.
2
Soldan limiti hesaplama ve mutlak değer analizi
lim⁡x→3−f(x)=3a−6\lim_{x \to 3^-} f(x) = 3a - 6
x→3−x \to 3^- için x<3x < 3 olduğundan x2−9<0x^2 - 9 < 0 olur. Dolayısıyla ∣x2−9∣=−(x2−9)=−(x−3)(x+3)|x^2 - 9| = -(x^2 - 9) = -(x-3)(x+3) olarak dışarı çıkar ve paydadaki x−3x-3 terimi ile sadeleşir.
3
Sağdan limiti hesaplama
lim⁡x→3+f(x)=a2−6a+8\lim_{x \to 3^+} f(x) = a^2 - 6a + 8
x→3+x \to 3^+ için x≥3x \ge 3 aralığındaki x2−2ax+a2−1x^2 - 2ax + a^2 - 1 kuralı kullanılır ve xx yerine 3 yazılır.
4
Limit eşitliğini kurma ve ikinci dereceden denklemi çözme
a2−9a+14=0  ⟹  (a−2)(a−7)=0  ⟹  a=2a^2 - 9a + 14 = 0 \implies (a - 2)(a - 7) = 0 \implies a = 2 veya a=7a = 7
Sağ ve sol limit değerleri birbirine eşitlenerek aa parametresine bağlı ikinci dereceden denklem çözülür.
5
Değerlerin toplamını bulma
2+7=92 + 7 = 9
aa'nın alabileceği tüm farklı değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonlarda limit varlığı için sağdan ve soldan limitlerin incelenmesi, mutlak değer içerisindeki ifadenin işaret analizi ve sadeleştirme yöntemleri.
Rate this question

Topics

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

More questions from this topic