Examkin

Question

Difficulty: HardÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
(x2−5x+4)(x+2)(x−2)2(x−2)(x−3)2≤0 \frac{(x^2 - 5x + 4)(x + 2)(x - 2)^2}{(x - 2)(x - 3)^2} \leq 0 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: 2

Answer

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 2'dir.
Eşitsizliğin çözüm kümesi [−2,1]∪(2,3)∪(3,4][-2, 1] \cup (2, 3) \cup (3, 4] olarak bulunur. Bu aralıkta yer alan tam sayılar −2,−1,0,1-2, -1, 0, 1 ve 44 olduğundan, toplamları 22 yapmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Tanımsızlık oluşturan payda köklerini belirleme
Paydadaki x−2=0  ⟹  x=2x - 2 = 0 \implies x = 2 ve (x−3)2=0  ⟹  x=3(x - 3)^2 = 0 \implies x = 3 değerleri çözüm kümesinden hariç tutulmalıdır.
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız kıldığından hiçbir koşulda çözüm kümesine dahil edilemez.
2
İfadeyi sadeleştirme ve çarpanlarına ayırma
x≠2x \neq 2 ve x≠3x \neq 3 için, eşitsizlik (x−4)(x−1)(x+2)(x−2)2(x−2)(x−3)2≤0  ⟹  (x−4)(x−1)(x+2)(x−2)(x−3)2≤0\frac{(x - 4)(x - 1)(x + 2)(x - 2)^2}{(x - 2)(x - 3)^2} \leq 0 \implies \frac{(x - 4)(x - 1)(x + 2)(x - 2)}{(x - 3)^2} \leq 0 şekline dönüşür.
Eşitsizlik tablosunu daha kolay oluşturmak amacıyla pay ve paydadaki ortak terimler sadeleştirilir.
3
İşaret tablosunu oluşturma
Kökler: x=−2x = -2 (tek katlı), x=1x = 1 (tek katlı), x=2x = 2 (tek katlı), x=3x = 3 (çift katlı, payda kökü), x=4x = 4 (tek katlı). İşaret dizilimi en sağdan ++ ile başlar: (4,∞)(4, \infty) için ++, (3,4)(3, 4) için −-, (2,3)(2, 3) için −-, (1,2)(1, 2) için ++, (−2,1)(-2, 1) için −-, (−∞,−2)(-\infty, -2) için ++.
Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin işaret tablosu oluşturulurken baş katsayıların çarpımının işaretiyle en sağdan başlanır ve her tek katlı kökte işaret değiştirilir, çift katlı köklerde ise işaret değişmez.
4
Çözüm kümesini yazma ve tam sayıları toplama
Eşitsizliği sağlayan aralıklar [−2,1]∪(2,3)∪(3,4][-2, 1] \cup (2, 3) \cup (3, 4] olup bu aralıktaki tam sayılar −2,−1,0,1,4-2, -1, 0, 1, 4 değerleridir. Toplamları: (−2)+(−1)+0+1+4=2(-2) + (-1) + 0 + 1 + 4 = 2 olur.
Negatif ve sıfıra eşit olan aralıklardan payda kökleri (22 ve 33) çıkarılarak sağlayan tam sayılar bulunur ve toplanır.

Key Concept

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin Çözümü
Rate this question

Topics

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

More questions from this topic