Examkin

Question

Difficulty: MediumParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Analitik düzlemde, y=x2+3x+8y = x^2 + 3x + 8 parabolüne A(0,−1)A(0, -1) noktasından çizilen teğet doğrulardan birinin parabole değme noktası koordinat düzleminin II. bölgesindedir. Buna göre, bu teğet doğrusunun eğimi kaçtır?

Answer: -3

Answer

Teğet doğrunun eğimi -3'tür.
A(0, -1) noktasından geçen teğet doğrusunun denklemi y=mx−1y = mx - 1 şeklindedir. Parabol denklemi ile ortak çözülüp teğetlik şartı olan Δ=0\Delta = 0 uygulandığında m=−3m = -3 ve m=9m = 9 değerleri elde edilir. Değme noktası II. bölgede (apsisi negatif, ordinatı pozitif) olan doğru incelendiğinde m=−3m = -3 için değme noktasının T1(−3,8)T_1(-3, 8) olduğu görülür ve bu durum şartı sağlar.

Step-by-Step Solution

1
A(0, -1) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemini yazma
y=mx−1y = mx - 1
Teğet doğrunun denklemini belirlemek için.
2
Parabol ile doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini oluşturma
x2+(3−m)x+9=0x^2 + (3 - m)x + 9 = 0
Kesişim noktalarını veya teğetlik şartını incelemek için.
3
Teğetlik şartı için diskriminantı sıfıra eşitleyip m değerlerini bulma
Δ=(3−m)2−36=0  ⟹  m=−3\Delta = (3 - m)^2 - 36 = 0 \implies m = -3 veya m=9m = 9
Doğru parabole teğet olduğundan ortak denklemin çift katlı kökü (tek ortak noktası) olmalıdır.
4
Bulunan m değerlerine göre değme noktalarının koordinatlarını kontrol etme
m=−3m = -3 için değme noktası T1(−3,8)T_1(-3, 8) (II. bölge), m=9m = 9 için değme noktası T2(3,26)T_2(3, 26) (I. bölge)
Soruda değme noktasının koordinat düzleminin II. bölgesinde olduğu belirtilmiştir.

Key Concept

Bir parabol ile bir doğrunun teğet olması durumunda ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfıra eşittir (Δ=0\Delta = 0).
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

More questions from this topic