f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere, \int_{1}^{2} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx = 8\neşitliği veriliyor. Buna göre, \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(2x)}{(1 + \cos^2 x)^2} f\left( \frac{1}{1 + \cos^2 x} \right) \, dx + \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x \ln^2 x} f\left( \frac{

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere, \int_{1}^{2} f\lef… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

sürekli bir fonksiyon olmak üzere,

\int_{1}^{2} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx = 8

eşitliği veriliyor.
Buna göre,

\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(2x)}{(1 + \cos^2 x)^2} f\left( \frac{1}{1 + \cos^2 x} \right) \, dx + \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x \ln^2 x} f\left( \frac{1}{\ln x} \right) \, dx

toplamının değeri kaçtır?

A
0
B
4
8Answer
D
16
E
32

Answer

İntegraller sırasıyla değişken değiştirme yöntemiyle sadeleştirildiğinde toplamın sonucu 8 olarak bulunur.

Verilen integralde yapılan değişken değiştirme ile temel integralin değeri 4 olarak bulunur. Sorulan ifadedeki her iki integral de uygun trigonometrik ve logaritmik dönüşümler yardımıyla aynı sınırlara sahip integrallere indirgenir ve her birinin değeri 4 olarak hesaplanır. Bu iki değerin toplamı 8 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

Verilen ilk integralde değişken değiştirme uygulanması

\int_{1/2}^{1} f(w) \, dw = 4

\int_{1}^{2} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx = 8

ifadesinde

w = \frac{x}{2}

dönüşümü yapılırsa

dw = \frac{dx}{2} \implies dx = 2 \, dw

olur. Sınırlar

x = 1 \implies w = 1/2

x = 2 \implies w = 1

olur. Buradan

2 \int_{1/2}^{1} f(w) \, dw = 8 \implies \int_{1/2}^{1} f(w) \, dw = 4

elde edilir.

Sorulan ifadedeki trigonometrik integralin hesaplanması

\int_{1/2}^{1} f(u) \, du = 4

I_1 = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(2x)}{(1 + \cos^2 x)^2} f\left( \frac{1}{1 + \cos^2 x} \right) \, dx

integralinde

u = \frac{1}{1 + \cos^2 x} = (1 + \cos^2 x)^{-1}

dönüşümü uygulanır. Diferansiyel alındığında

du = -(1 + \cos^2 x)^{-2} \cdot 2\cos x \cdot (-\sin x) \, dx = \frac{\sin(2x)}{(1 + \cos^2 x)^2} \, dx

olur. Sınırlar

x = 0 \implies u = 1/2

x = \pi/2 \implies u = 1

olarak güncellenir. Böylece

I_1 = \int_{1/2}^{1} f(u) \, du = 4

bulunur.

Sorulan ifadedeki logaritmik integralin hesaplanması

\int_{1/2}^{1} f(v) \, dv = 4

I_2 = \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x \ln^2 x} f\left( \frac{1}{\ln x} \right) \, dx

integralinde

v = \frac{1}{\ln x} = (\ln x)^{-1}

dönüşümü uygulanır. Diferansiyel alındığında

dv = -(\ln x)^{-2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = -\frac{1}{x \ln^2 x} \, dx \implies \frac{1}{x \ln^2 x} \, dx = -dv

olur. Sınırlar

x = e \implies v = 1

x = e^2 \implies v = 1/2

olur. Buradan

I_2 = \int_{1}^{1/2} f(v) \, (-dv) = \int_{1/2}^{1} f(v) \, dv = 4

elde edilir.

Elde edilen integral değerlerinin toplanması

I_1 + I_2 = 4 + 4 = 8

Her iki integralin de değeri 4 olarak hesaplandığından, toplam ifadenin değeri 8 olur.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların ve diferansiyel katsayılarının doğru güncellenmesi.

Estimated Time:3m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic