Examkin

Question

Difficulty: MediumTek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri
Orijine göre simetrik bir grafiğe sahip olan ff fonksiyonu ile ordinat eksenine göre simetrik bir grafiğe sahip olan gg fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+g(−x)=x3−3x2−x+5f(x) + g(-x) = x^3 - 3x^2 - x + 5
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, (f∘g)(1)(f \circ g)(1) ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    2
  2. B
    5
  3. 6Answer
  4. D
    -6
  5. E
    8

Answer

6
Verilen fonksiyonların simetri özellikleri gereği f(x)+g(x)=x3−3x2−x+5f(x) + g(x) = x^3 - 3x^2 - x + 5 olur. Polinomun tek dereceli terimleri tek fonksiyon olan f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x ifadesini, çift dereceli ve sabit terimleri ise çift fonksiyon olan g(x)=−3x2+5g(x) = -3x^2 + 5 ifadesini verir. Buradan g(1)=2g(1) = 2 ve (f∘g)(1)=f(2)=6(f \circ g)(1) = f(2) = 6 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonların simetri özelliklerini belirlemek.
f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) ve g(−x)=g(x)g(-x) = g(x)
ff fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan tek fonksiyondur. gg fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine göre simetrik olduğundan çift fonksiyondur.
2
Verilen denklemde çift fonksiyon özelliğini kullanmak.
f(x)+g(x)=x3−3x2−x+5f(x) + g(x) = x^3 - 3x^2 - x + 5
gg çift fonksiyon olduğundan g(−x)=g(x)g(-x) = g(x) eşitliği denklemde yerine yazılır.
3
Tek ve çift dereceli terimleri ayrıştırarak fonksiyonların kurallarını bulmak.
f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x ve g(x)=−3x2+5g(x) = -3x^2 + 5
E��itliğin sol tarafındaki f(x)f(x) tek, g(x)g(x) çift fonksiyondur. Bir polinom fonksiyonunun tek kısmı tek dereceli terimlerin toplamına, çift kısmı ise çift dereceli terimlerin ve sabit sayının toplamına e��ittir.
4
g(1)g(1) değerini hesaplamak.
g(1)=−3(1)2+5=2g(1) = -3(1)^2 + 5 = 2
(f∘g)(1)=f(g(1))(f \circ g)(1) = f(g(1)) bileşke ifadesini bulmak için öncelikle en içteki fonksiyon hesaplanır.
5
f(g(1))f(g(1)) yani f(2)f(2) değerini hesaplamak.
f(2)=23−2=6f(2) = 2^3 - 2 = 6
g(1)=2g(1) = 2 olduğundan bileşke fonksiyonun değeri f(2)f(2) değerine eşittir.

Key Concept

Tek ve çift fonksiyonların simetri kuralları ve cebirsel olarak ayrıştırılması

Alternative Method

Değer vererek çözme yöntemi: Eşitlikte x=1x=1 ve x=−1x=-1 yazılarak sırasıyla f(1)+g(1)=2f(1)+g(1)=2 ve −f(1)+g(1)=2-f(1)+g(1)=2 denklemleri kurulur. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde g(1)=2g(1)=2 bulunur. Benzer şekilde x=2x=2 ve x=−2x=-2 değerleri yazılarak f(2)+g(2)=−1f(2)+g(2)=-1 ve −f(2)+g(2)=−13-f(2)+g(2)=-13 elde edilir. Bu denklemler taraf tarafa çıkarıldığında 2f(2)=12  ⟹  f(2)=62f(2)=12 \implies f(2)=6 bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

More questions from this topic