Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Denklemler
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
tan⁡(x)⋅cos⁡(3π2−2x)=−sin⁡(x)\tan(x) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) = -\sin(x)
denklemini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaç radyandır?
  1. A
    7π6\frac{7\pi}{6}
  2. B
    π\pi
  3. 2π2\piAnswer
  4. D
    π6\frac{\pi}{6}
  5. E
    5π2\frac{5\pi}{2}

Answer

Denklemi sa��layan köklerin toplamı 2π2\pi radyandır.
Denklem düzenlendiğinde elde edilen sin⁡(x)(2sin⁡(x)−1)=0\sin(x)(2\sin(x) - 1) = 0 eşitliğinin [0,π][0, \pi] aralığındaki ve tanjantı tanımlı yapan kökleri 00, π6\frac{\pi}{6}, 5π6\frac{5\pi}{6} ve π\pi sayılarıdır. Bu sayıların toplamı 2π2\pi radyandır.

Step-by-Step Solution

1
Tanjant fonksiyonunun tanımlı olması için kosinüsün sıfırdan farklı olması gerektiği belirlenir ve kosinüs indirgeme formülü uygulanır.
cos⁡(x)≠0⇒x≠π2\cos(x) \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} ve cos⁡(3π2−2x)=−sin⁡(2x)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - 2x\right) = -\sin(2x) olarak bulunur.
İndirgeme yaparak denklemi sadeleştirmek ve tanımsızlık oluşturan değerleri baştan dışarıda bırakmak için.
2
Elde edilen indirgenmiş ifade denklemde yerine yazılır, tanjant ve yarım açı formülleri açılarak sadeleştirilir.
sin⁡(x)cos⁡(x)⋅(−sin⁡(2x))=−sin⁡(x)⇒sin⁡(x)cos⁡(x)⋅(2sin⁡(x)cos⁡(x))=sin⁡(x)⇒2sin⁡2(x)=sin⁡(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot (-\sin(2x)) = -\sin(x) \Rightarrow \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot (2\sin(x)\cos(x)) = \sin(x) \Rightarrow 2\sin^2(x) = \sin(x) elde edilir.
Tüm ifadeleri ortak çarpan parantezine alabilmek amacıyla tek bir fonksiyon türüne dönüştürmek için.
3
Elde edilen denklem çarpanlarına ayrılarak çözülür.
2sin⁡2(x)−sin⁡(x)=0⇒sin⁡(x)(2sin⁡(x)−1)=02\sin^2(x) - \sin(x) = 0 \Rightarrow \sin(x)(2\sin(x) - 1) = 0 elde edilir.
Sadeleştirme yapıp kök kaybetmemek için tüm terimler tek tarafta toplanarak ortak çarpan parantezine alınır.
4
Çarpanların her biri sıfıra eşitlenerek [0,π][0, \pi] aralığındaki kökler tespit edilir.
sin⁡(x)=0⇒x=0\sin(x) = 0 \Rightarrow x = 0 veya x=πx = \pi. 2sin⁡(x)−1=0⇒sin⁡(x)=12⇒x=π62\sin(x) - 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} veya x=5π6x = \frac{5\pi}{6} kökleri bulunur.
Her bir çarpanı sıfır yapan açı değerlerinin verilen sınırlı aralıktaki karşılıklarını bulmak için.
5
Bulunan tüm kökler toplanır.
0+π6+5π6+π=2π0 + \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \pi = 2\pi elde edilir.
Denklemin farklı gerçel köklerinin toplamını hesaplamak için.

Key Concept

Trigonometrik denklemlerin çözümünde indirgeme formülleri, yarım açı özdeşlikleri, ortak çarpan parantezine alma yöntemi ve tanım kümesi kontrolü.
Rate this question

Topics

Trigonometrik Denklemler

More questions from this topic