Examkin

Question

Difficulty: Very hardDeğişken Değiştirme Yöntemi
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12x⋅f(x2) dx+∫12f(5−2x) dx=10\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx + \int_{1}^{2} f(5 - 2x) \, dx = 10
ve
∫34f(x) dx=4\int_{3}^{4} f(x) \, dx = 4
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫−11x2⋅f(x3+2) dx\int_{-1}^{1} x^2 \cdot f(x^3 + 2) \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    88
  2. B
    11
  3. C
    103\frac{10}{3}
  4. 83\frac{8}{3}Answer
  5. E
    −83-\frac{8}{3}

Answer

Doğru cevap 83\frac{8}{3} değeridir.
Doğru değer olan 83\frac{8}{3}, her bir integral terimine sırasıyla uygun değişken değiştirmeleri uygulanıp sınırlar güncellendikten ve elde edilen doğrusal denklem sistemi çözüldükten sonra elde edilen değerdir.

Step-by-Step Solution

1
İlk integral teriminde u=x2u = x^2 dönüşümü yapılır.
du=2x dx  ⟹  x dx=du2du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar: x=1  ⟹  u=1x = 1 \implies u = 1 ve x=2  ⟹  u=4x = 2 \implies u = 4 olur. Bu durumda terim 12∫14f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du haline gelir.
İntegrali daha basit bir formda ifade etmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
İkinci integral teriminde v=5−2xv = 5 - 2x dönüşümü yapılır.
dv=−2 dx  ⟹  dx=−dv2dv = -2 \, dx \implies dx = -\frac{dv}{2} olur. Sınırlar: x=1  ⟹  v=3x = 1 \implies v = 3 ve x=2  ⟹  v=1x = 2 \implies v = 1 olur. Bu durumda terim ∫31f(v)(−dv2)=12∫13f(v) dv\int_{3}^{1} f(v) \left(-\frac{dv}{2}\right) = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} f(v) \, dv haline gelir.
İkinci terimi de tek değişkenli integral biçiminde ifade edebilmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
3
Dönüşümler ilk denklemde yerine yazılır ve denklem düzenlenir.
12∫14f(x) dx+12∫13f(x) dx=10  ⟹  ∫14f(x) dx+∫13f(x) dx=20\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(x) \, dx + \frac{1}{2} \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 10 \implies \int_{1}^{4} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 20 elde edilir.
Denklemdeki katsayıları sadeleştirerek integraller arasındaki doğrusal bağıntı bulunur.
4
Belirli integralin parçalama özelliği ve verilen ∫34f(x) dx=4\int_{3}^{4} f(x) \, dx = 4 bilgisi kullanılarak denklem sistemi çözülür.
∫14f(x) dx=∫13f(x) dx+∫34f(x) dx=∫13f(x) dx+4\int_{1}^{4} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{4} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + 4 yazılır. Bu ifade ortak denklemde yerine yazıldığında: (∫13f(x) dx+4)+∫13f(x) dx=20  ⟹  2∫13f(x) dx=16  ⟹  ∫13f(x) dx=8\left(\int_{1}^{3} f(x) \, dx + 4\right) + \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 20 \implies 2\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 16 \implies \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 8 bulunur.
Sistemdeki bilinmeyen integral değerleri belirlenir.
5
Sorulan ∫−11x2⋅f(x3+2) dx\int_{-1}^{1} x^2 \cdot f(x^3 + 2) \, dx integralinde w=x3+2w = x^3 + 2 dönüşümü yapılır.
dw=3x2 dx  ⟹  x2 dx=dw3dw = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{dw}{3} olur. Sınırlar: x=−1  ⟹  w=1x = -1 \implies w = 1 ve x=1  ⟹  w=3x = 1 \implies w = 3 olur. İntegral 13∫13f(w) dw=13⋅8=83\frac{1}{3} \int_{1}^{3} f(w) \, dw = \frac{1}{3} \cdot 8 = \frac{8}{3} olarak hesaplanır.
Hedef integral ifadesi değişken değiştirme ile hesaplanabilir hale getirilir.

Key Concept

Değişken Değiştirme Yöntemi

Alternative Method

Alternatif olarak, dönüşüm formüllerini açıkça yazmak yerine diferansiyel terimlerini doğrudan içeriye taşıyarak (x dx=12d(x2)x \, dx = \frac{1}{2} d(x^2) ve dx=−12d(5−2x)dx = -\frac{1}{2} d(5-2x) vb.) integral doğrudan diferansiyel formunda da düzenlenebilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Değişken Değiştirme Yöntemi

More questions from this topic