Examkin

Question

Difficulty: Very hardÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

f(x)=x2−x−6 f(x) = x^2 - x - 6
g(x)=x2−4x+3 g(x) = x^2 - 4x + 3

fonksiyonları veriliyor. Buna göre,

f(x)⋅g(x−2)g(x)⋅f(x+1)≤0 \frac{f(x) \cdot g(x - 2)}{g(x) \cdot f(x + 1)} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: 7

Answer

Eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplam�� 7'dir.
Verilen fonksiyonlar çarpanlarına ayrılıp ötelenmiş halleriyle eşitsizlikte yerlerine konduğunda pay kısmında (x−3)2(x+2)(x−5)(x-3)^2(x+2)(x-5), payda kısmında ise (x−3)(x−1)(x−2)(x+3)(x-3)(x-1)(x-2)(x+3) çarpanları elde edilir. x≠3x \neq 3 koşuluyla sadeleştirme yapıldığında eşitsizlik, kökleri −3-3, −2-2, 11, 22, 33, 55 olan tek katlı kök sistemine dönüşür. İşaret tablosu oluşturulduğunda sıfıra eşitlik ve payda tanımsızlığı dikkate alınarak çözüm kümesi (−3,−2]∪(1,2)∪(3,5](-3, -2] \cup (1, 2) \cup (3, 5] olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayıların (−2,4,5-2, 4, 5) toplamı 7'dir.

Step-by-Step Solution

1
f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarını çarpanlarına ayırın.
f(x)=(x−3)(x+2)f(x) = (x - 3)(x + 2) ve g(x)=(x−3)(x−1)g(x) = (x - 3)(x - 1) şeklinde elde edilir.
Eşitsizlik sisteminin köklerini bulabilmek için fonksiyonların çarpan formunu bilmemiz gerekir.
2
Ötelenmiş f(x+1)f(x + 1) ve g(x−2)g(x - 2) fonksiyonlarını bulun.
f(x+1)=(x+1−3)(x+1+2)=(x−2)(x+3)f(x + 1) = (x + 1 - 3)(x + 1 + 2) = (x - 2)(x + 3) ve g(x−2)=(x−2−3)(x−2−1)=(x−5)(x−3)g(x - 2) = (x - 2 - 3)(x - 2 - 1) = (x - 5)(x - 3) olarak hesaplanır.
Eşitsizlikteki diğer çarpanları belirlemek için öteleme dönüşümlerini uygulamalıyız.
3
Eşitsizlikteki tüm fonksiyonları çarpanlarına ayrılmış biçimde yerine yazın.
(x−3)(x+2)⋅(x−5)(x−3)(x−3)(x−1)⋅(x−2)(x+3)≤0 \frac{(x - 3)(x + 2) \cdot (x - 5)(x - 3)}{(x - 3)(x - 1) \cdot (x - 2)(x + 3)} \leq 0 ifadesi elde edilir.
Eşitsizlik ifadesini en yalın çarpanlar cinsinden görerek kök analizine hazırlık yapılır.
4
Ortak çarpanları analiz edin ve tanımsızlık koşulunu belirleyin.
x≠3x \neq 3 olmak üzere, pay kısmındaki (x−3)2(x-3)^2 ifadesi ile paydadaki (x−3)(x-3) sadeleşir ve pay kısmında (x−3)1(x-3)^1 kalır. Eşitsizlik (x−3)(x+2)(x−5)(x−1)(x−2)(x+3)≤0(x≠3) \frac{(x - 3)(x + 2)(x - 5)}{(x - 1)(x - 2)(x + 3)} \leq 0 \quad (x \neq 3) haline gelir. Kökler sırasıyla −3-3, −2-2, 11, 22, 33 ve 55'tir.
Paydadan gelen köklerin tanımsızlık yaratacağını ve sadeleşen kökün katlılık durumunu değiştirdiğini belirlemek kritiktir.
5
İşaret tablosu hazırlayarak sağlayan aralıkları bulun.
x>5x > 5 için ifadenin işareti (+) ile başlar ve her kökten geçildiğinde işaret değişir. İşaret sıralaması sağdan sola sırasıyla +, -, +, -, +, -, + şeklindedir. Negatif ve sıfıra eşit bölgeler taranır: (−3,−2]∪(1,2)∪(3,5](-3, -2] \cup (1, 2) \cup (3, 5].
Eşitsizliğin yönüne (küçük veya eşit sıfır) göre hangi aralıkların çözüm kümesine dahil edileceğini belirlemek için işaret tablosu kullanılır.
6
Çözüm aralıklarındaki tam sayıları belirleyin ve toplayın.
(−3,−2](-3, -2] aralığından −2-2, (1,2)(1, 2) aralığından tam sayı gelmez, (3,5](3, 5] aralığından ise 44 ve 55 gelir. Toplam: −2+4+5=7-2 + 4 + 5 = 7 olur.
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamını bulmak sorunun nihai hedefidir.

Key Concept

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin Çözümü, Sadeleştirme Kuralları ve Tanımsızlık Koşulu
Rate this question

Topics

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

More questions from this topic