Examkin

Question

Difficulty: MediumPermütasyon

Bir sanat galerisinde sergilenmek üzere 3 farklı manzara, 3 farklı portre ve 2 farklı soyut tablo tek bir sıra hâlinde yan yana dizilecektir.

Soyut tabloların tamamının yan yana olduğu ve herhangi iki portre tablosunun yan yana gelmediği bilindiğine göre, bu tablolar kaç farklı şekilde sıralanabilir?

  1. A
    240
  2. B
    480
  3. C
    960
  4. D
    1440
  5. 2880Answer

Answer

Doğru cevap 2880'dir.
Doğru cevap 2880'dir. Yan yana bulunması gereken 2 soyut tablo 1 nesne olarak kabul edildiğinde, 3 manzara tablosuyla birlikte toplam 4 nesne elde edilir. Bu nesneler 4!4! şekilde, soyut tablolar ise kendi aralarında 2!2! şekilde sıralanabilir. Herhangi iki portre tablosunun yan yana gelmemesi koşulu için bu 4 nesnenin oluşturduğu 5 boşluğa 3 portre tablosu P(5,3)P(5,3) kadar farklı şekilde yerleştirilir. Sonuç olarak tüm durumların çarpımı 4!×2!×P(5,3)=24×2×60=28804! \times 2! \times P(5,3) = 24 \times 2 \times 60 = 2880 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Yan yana olması istenen 2 farklı soyut tabloyu tek bir grup olarak paketleyelim.
Elimizde 3 farklı manzara tablosu ve 1 soyut tablo grubu olmak üzere toplam 4 nesne oluşur.
Birlikte bulunması gereken nesneler tek bir eleman gibi kabul edilerek işlem kolaylığı sağlanır.
2
Bu 4 nesnenin kendi aralarındaki sıralamasını ve soyut tabloların grup içi yer de��iştirmesini hesaplayalım.
4 nesne kendi arasında 4!=244! = 24 farklı şekilde sıralanabilir. Soyut tablolar da grup içinde 2!=22! = 2 farklı şekilde yer değiştirebilir. Bu iki durumun çarpımı 24×2=4824 \times 2 = 48 farklı dizilim oluşturur.
Çarpım yoluyla sayma kuralı gereğince bağımsız sıralama seçenekleri çarpılır.
3
Herhangi iki portre tablosunun yan yana gelmemesi için portre tablolarını yerleştirdiğimiz 4 nesnenin aralarındaki boşluklara dağıtalım.
4 nesnenin oluşturduğu 5 boşluktan (sol uç, nesneler arası ve sağ uç) 3 tanesi seçilerek 3 portre tablosu bu boşluklara P(5,3)=5×4×3=60P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60 farklı şekilde yerleştirilir.
İki portre tablosunun yan yana gelmesini engellemek için her boşluğa en fazla bir portre tablosu yerleştirilmelidir.
4
Tüm aşamalardaki sıralama sayılarını çarparak toplam dizilim sayısını elde edelim.
Toplam dizilim sayısı 48×60=288048 \times 60 = 2880 olur.
Tüm koşulları aynı anda sağlayan dizilim sayısını bulmak için her aşamada elde edilen bağımsız sıralamalar çarpılır.

Key Concept

Koşullu permütasyonda elemanların yan yana olma ve olmama durumlarının çarpım kuralı ile hesaplanması
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Permütasyon

More questions from this topic