Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Denklemler
x∈[0,2π)x \in [0, 2\pi) olmak üzere,
tan⁡(x)⋅sin⁡(x)−3sin⁡(x)−tan⁡(x)+3=0\tan(x)\cdot\sin(x) - \sqrt{3}\sin(x) - \tan(x) + \sqrt{3} = 0
denklemi veriliyor.

Buna göre, bu denklemin [0,2π)[0, 2\pi) aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

  1. A
    13π6\frac{13\pi}{6}
  2. 5π3\frac{5\pi}{3}Answer
  3. C
    7π3\frac{7\pi}{3}
  4. D
    π2\frac{\pi}{2}
  5. E
    17π6\frac{17\pi}{6}

Answer

Farklı gerçel köklerin toplamı 5π3\frac{5\pi}{3} radyandır.
Denklem çarpanlarına ayrıldığında (sin⁡(x)−1)(tan⁡(x)−3)=0(\sin(x) - 1)(\tan(x) - \sqrt{3}) = 0 elde edilir. Ancak tan⁡(x)\tan(x) fonksiyonu x=π2x = \frac{\pi}{2} değerinde tanımlı olmadığından, sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 eşitliğinden gelen x=π2x = \frac{\pi}{2} kökü elenir. Sadece tan⁡(x)=3\tan(x) = \sqrt{3} eşitliğini sağlayan x=π3x = \frac{\pi}{3} ve x=4π3x = \frac{4\pi}{3} kökleri geçerlidir. Bu köklerin toplamı 5π3\frac{5\pi}{3} radyandır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemde ortak terimleri gruplandırarak çarpanlara ayırın.
sin⁡(x)(tan⁡(x)−3)−(tan⁡(x)−3)=0\sin(x)(\tan(x) - \sqrt{3}) - (\tan(x) - \sqrt{3}) = 0 ifadesinden (sin⁡(x)−1)(tan⁡(x)−3)=0(\sin(x) - 1)(\tan(x) - \sqrt{3}) = 0 elde edilir.
Çarpım halindeki ifadelerin köklerini bulmak için her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyebilmek amacıyla gruplandırma yapılır.
2
Çarpanları sıfıra eşitleyerek olası kök adaylarını belirleyin.
sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 veya tan⁡(x)=3\tan(x) = \sqrt{3} denklem parçaları elde edilir.
İki ifadenin çarpımının sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
3
Denklemdeki fonksiyonların tanım kümesini kontrol edin.
tan⁡(x)\tan(x) fonksiyonu x=π2x = \frac{\pi}{2} değerinde tanımsızdır. Bu nedenle sin⁡(x)=1  ⟹  x=π2\sin(x) = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} değeri çözüm kümesine alınamaz.
Orijinal denklemde yer alan tanjant fonksiyonunun tanımlı olmadığı değerler denklemi de tanımsız yapacağından kök olamaz.
4
tan⁡(x)=3\tan(x) = \sqrt{3} denkleminin verilen aralıktaki köklerini bulun.
[0,2π)[0, 2\pi) aralığında tanjantı 3\sqrt{3} olan açılar x1=π3x_1 = \frac{\pi}{3} ve x2=4π3x_2 = \frac{4\pi}{3} olarak bulunur.
Tanjant fonksiyonu birinci ve üçüncü bölgelerde pozitif değer alır.
5
Bulunan geçerli kökleri toplayın.
Toplam=π3+4π3=5π3\text{Toplam} = \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} radyandır.
Soruda bizden istenen geçerli tüm farklı gerçel köklerin toplamıdır.

Key Concept

Trigonometrik denklemlerde çarpanlara ayırma yöntemi ve tanım kümesi sınırlamalarına dikkat edilmesi.

Alternative Method

Denklemdeki tan⁡(x)\tan(x) ifadesi sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)} olarak yazılıp payda eşitlenirse, sin⁡2(x)−3sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)+3cos⁡(x)cos⁡(x)=0\frac{\sin^2(x) - \sqrt{3}\sin(x)\cos(x) - \sin(x) + \sqrt{3}\cos(x)}{\cos(x)} = 0 denklemi elde edilir. Pay kısmındaki ifade sin⁡(x)(sin⁡(x)−1)−3cos⁡(x)(sin⁡(x)−1)=0  ⟹  (sin⁡(x)−1)(sin⁡(x)−3cos⁡(x))=0\sin(x)(\sin(x) - 1) - \sqrt{3}\cos(x)(\sin(x) - 1) = 0 \implies (\sin(x) - 1)(\sin(x) - \sqrt{3}\cos(x)) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Paydanın sıfır olamayacağı (yani cos⁡(x)≠0\cos(x) \neq 0 koşulu) göz önünde bulundurulduğunda, sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 için cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 olacağından bu kök elenir. Diğer taraftan sin⁡(x)−3cos⁡(x)=0  ⟹  sin⁡(x)=3cos⁡(x)  ⟹  tan⁡(x)=3\sin(x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0 \implies \sin(x) = \sqrt{3}\cos(x) \implies \tan(x) = \sqrt{3} elde edilerek aynı köklere ulaşılır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Denklemler

More questions from this topic