Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡2(x−2)+log⁡2(x+2)=log⁡2(3x+6)\log_2(x - 2) + \log_2(x + 2) = \log_2(3x + 6)

denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?

  1. A
    3
  2. 5Answer
  3. C
    -2
  4. D
    6
  5. E
    8

Answer

Denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesinin elemanlarının toplamı 5'tir.
Denklem, logaritmanın çarpım kuralı kullanılarak düzenlendiğinde ikinci dereceden bir denklem elde edilir. Bu denklemin kökleri 5 ve -2 olarak bulunur. Ancak logaritma tanım kümesi gereği x > 2 olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek kök 5 olduğundan çözüm kümesinin elemanları toplamı 5 olur.

Step-by-Step Solution

1
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümelerini belirleyin.
x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2, x+2>0  ⟹  x>−2x + 2 > 0 \implies x > -2 ve 3x+6>0  ⟹  x>−23x + 6 > 0 \implies x > -2 şartlarının kesişiminden ortak tanım kümesi x>2x > 2 olarak elde edilir.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının ve içinin sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritmanın toplama özelliğini uygulayarak sol tarafı tek bir logaritma altında birleştirin.
log⁡2((x−2)(x+2))=log⁡2(3x+6)\log_2((x - 2)(x + 2)) = \log_2(3x + 6)
log⁡2(x2−4)=log⁡2(3x+6)\log_2(x^2 - 4) = \log_2(3x + 6)
log⁡a(u)+log⁡a(v)=log⁡a(u⋅v)\log_a(u) + \log_a(v) = \log_a(u \cdot v) kuralı uygulanarak denklem sadeleştirilir.
3
Logaritma tabanları eşit olduğu için ifadelerin içlerini birbirine eşitleyerek oluşan ikinci dereceden denklemi çözün.
x2−4=3x+6x^2 - 4 = 3x + 6
x2−3x−10=0x^2 - 3x - 10 = 0
(x−5)(x+2)=0(x - 5)(x + 2) = 0
Buradan x=5x = 5 veya x=−2x = -2 elde edilir.
log⁡a(f(x))=log⁡a(g(x))  ⟹  f(x)=g(x)\log_a(f(x)) = \log_a(g(x)) \implies f(x) = g(x) kuralı gereği içler eşitlenir ve çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
4
Bulunan köklerin birinci adımda elde edilen ortak tanım kümesine uygunluğunu kontrol edin ve çözüm kümesini yazın.
x=5x = 5 değeri x>2x > 2 şartını sağladığı için çözüm kümesine dahil edilir. x=−2x = -2 değeri ise x>2x > 2 şartını sağlamadığı için (logaritmanın içini sıfır yaptığı için) çözüm kümesine alınamaz. Çözüm kümesi {5}\{5\} olup elemanlar toplamı 55 olur.
Cebirsel olarak bulunan köklerin başlangıçtaki logaritmik ifadeleri tanımlı kılması zorunludur.

Key Concept

Logaritmik Denklemlerin Çözümü ve Tanım Kümesi Kontrolü

Alternative Method

Denklemin sağ tarafında yer alan 3x+63x+6 ifadesi 3(x+2)3(x+2) şeklinde yazılabilir. Buradan çarpımın logaritması kuralı ile log⁡2(3x+6)=log⁡23+log⁡2(x+2)\log_2(3x+6) = \log_2 3 + \log_2(x+2) elde edilir. Eşitliğin her iki tarafındaki log⁡2(x+2)\log_2(x+2) terimleri sadeleştirilerek doğrudan log⁡2(x−2)=log⁡23\log_2(x-2) = \log_2 3 denklemine ve buradan da x−2=3  ⟹  x=5x - 2 = 3 \implies x = 5 sonucuna ulaşılarak tanım kümesini ihlal etmeyen kök doğrudan bulunabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Denklemler

More questions from this topic