Examkin

Question

Difficulty: EasyTrigonometrik Denklemler
cos⁡(2x)=12\cos(2x) = \frac{1}{2} denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?

Answer: 2

Answer

Denkleminin belirtilen aralıkta 2 farklı gerçel kökü vardır.
Denklemin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki gerçel kökleri genel çözümlerden elde edilen π6\frac{\pi}{6} ve 5π6\frac{5\pi}{6} değerleridir. Bu aralıkta başka gerçel kök bulunmadığından toplam kök sayısı 2'dir.

Step-by-Step Solution

1
Kosinüs denkleminin genel çözüm formülünü uygulama
2x=π3+2kπ2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi veya 2x=−π3+2kπ2x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z})
cos⁡(θ)=cos⁡(α)\cos(\theta) = \cos(\alpha) denkleminin genel çözümü θ=α+2kπ\theta = \alpha + 2k\pi veya θ=−α+2kπ\theta = -\alpha + 2k\pi bağıntıları ile belirlenir.
2
xx değişkenini yalnız bırakmak için bölme yapma
x=π6+kπx = \frac{\pi}{6} + k\pi veya x=−π6+kπx = -\frac{\pi}{6} + k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z})
Eşitliklerin her iki tarafını xx'in katsayısı olan 2 ile bölerek köklerin genel formülüne ulaşırız.
3
[0,π][0, \pi] aralığına uygun kökleri belirleme
x1=π6x_1 = \frac{\pi}{6} ve x2=5π6x_2 = \frac{5\pi}{6}
x=π6+kπx = \frac{\pi}{6} + k\pi formülünde k=0k=0 için x1=π6x_1 = \frac{\pi}{6} aralığa dahildir. x=−π6+kπx = -\frac{\pi}{6} + k\pi formülünde k=1k=1 için x2=5π6x_2 = \frac{5\pi}{6} aralığa dahildir.

Key Concept

Trigonometrik denklemlerin belirli bir aralıktaki kök sayısının bulunması
Estimated Time:50s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Denklemler

More questions from this topic