Examkin

Question

Difficulty: EasyParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
lim⁡x→3−x2−9∣x−3∣\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}

limitinin değeri kaçtır?

  1. −6-6Answer
  2. B
    66
  3. C
    00
  4. D
    −3-3
  5. E
    33

Answer

−6-6
Limit değerine x=3x = 3 noktasına soldan yaklaşıldığında, xx değerleri 3'ten küçük olur. Bu nedenle x−3<0x - 3 < 0 olur ve ∣x−3∣|x - 3| ifadesi dışarıya −(x−3)-(x - 3) olarak çıkar. Pay kısmındaki x2−9x^2 - 9 ifadesi (x−3)(x+3)(x - 3)(x + 3) şeklinde çarpanlarına ayrılıp paydadaki −(x−3)-(x - 3) ile sadeleştirildiğinde geriye −(x+3)-(x + 3) kalır. Burada xx yerine 3 yazıldığında limitin değeri −6-6 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Limit noktası olan x=3x = 3 değerine soldan yaklaşıldığı için (x<3x < 3) mutlak değerin içindeki x−3x - 3 ifadesinin işaretini belirleyin.
x<3x < 3 olduğundan x−3<0x - 3 < 0 olur. Bu durumda ∣x−3∣=−(x−3)|x - 3| = -(x - 3) olarak dışarı çıkar.
Mutlak değerli ifadenin limitini hesaplamak için öncelikle ifadenin işaretini belirleyip mutlak değer dışına çıkarmamız gerekir.
2
Pay kısmındaki x2−9x^2 - 9 ifadesini iki kare farkı özdeşliğini kullanarak çarpanlarına ayırın ve limit ifadesini yeniden yazın.
x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) olduğundan limit ifadesi lim⁡x→3−(x−3)(x+3)−(x−3)\lim_{x \to 3^-} \frac{(x - 3)(x + 3)}{-(x - 3)} haline gelir.
0/00/0 belirsizliğini gidermek i��in pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirmek amacıyla çarpanlara ayırma yapılır.
3
Pay ve paydadaki ortak (x−3)(x - 3) çarpanlarını sadeleştirin ve kalan ifadede xx yerine 33 yazarak limiti hesaplayın.
lim⁡x→3−x+3−1=lim⁡x→3−−(x+3)=−(3+3)=−6\lim_{x \to 3^-} \frac{x + 3}{-1} = \lim_{x \to 3^-} -(x + 3) = -(3 + 3) = -6 bulunur.
Sadeleştirme işlemiyle belirsizlik giderildikten sonra limit değeri doğrudan yerine yazma yöntemiyle elde edilir.

Key Concept

Mutlak değer içeren fonksiyonların belirli bir noktadaki limitini hesaplarken, limit noktasına yaklaşılan yöne göre mutlak değerin içinin işareti belirlenir ve mutlak değer dışına çıkarma işlemi yapılır. Ardından belirsizlik varsa sadeleştirme yapılarak limit hesaplanır.
Rate this question

Topics

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

More questions from this topic