\frac{(x^2 - x - 6) \cdot (5 - x)}{x^2 - 6x + 9} \geq 0 eşitsizliğini sağlayan tüm pozitif… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\frac{(x^2 - x - 6) \cdot (5 - x)}{x^2 - 6x + 9} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan tüm pozitif

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: 9

Answer

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 9'dur.

Eşitsizlik çarpanlarına ayrılıp

x \neq 3

koşuluyla sadeleştirildiğinde

\frac{(x + 2)(5 - x)}{x - 3} \geq 0

elde edilir. Bu ifadenin işaret tablosuna göre pozitif tam sayı çözümleri sadece

3 < x \leq 5

aralığındadır. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar olan 4 ve 5'in toplamı 9'dur.

Step-by-Step Solution

Eşitsizlikteki ifadeleri çarpanlarına ayırma

Paydaki

x^2 - x - 6

ifadesi

(x - 3)(x + 2)

ve paydadaki

x^2 - 6x + 9

ifadesi

(x - 3)^2

olarak yazılır. Eşitsizlik: \frac{(x - 3)(x + 2)(5 - x)}{(x - 3)^2} \geq 0 halini alır.

İfadenin köklerini daha kolay belirlemek ve sadeleştirme yapabilmek için çarpanlara ayırma gereklidir.

Tanım kümesini kısıtlama ve sadeleştirme yapma

Paydanın kökü

x = 3

olduğundan

x \neq 3

olmalıdır. Bu kısıtlama altında pay ve paydadaki

(x - 3)

terimleri sadeleştirilerek eşitsizlik \frac{(x + 2)(5 - x)}{x - 3} \geq 0 şekline dönüştürülür.

Payda sıfır olamayacağı için

x = 3

değeri çözüm kümesinden çıkarılmalıdır.

Kökleri bulma ve işaret tablosu hazırlama

Kökler küçükten büyüğe:

x = -2

(payın kökü),

x = 3

(paydanın kökü) ve

x = 5

(payın kökü). En sağ aralıktaki işaret, en büyük dereceli terimlerin katsayıları çarpılarak (+\cdot-/+ = -) eksi (-) olarak belirlenir. İşaret tablosu sağdan sola: x > 5 için (-), 3 < x \leq 5 için (+), -2 \leq x < 3 için (-), x < -2 için (+) şeklindedir.

Eşitsizliğin hangi aralıklarda pozitif veya negatif olduğunu belirlemek için işaret tablosu oluşturulmalıdır.

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıları belirleme

Sağlanan aralıklardan pozitif olan tek bölge 3 < x \leq 5 aralığıdır. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar 4 ve 5'tir. (

x \leq -2

aralığında pozitif tam sayı yoktur ve x = 3 payda kökü olduğundan dahil edilemez.)

Soru bizden sadece pozitif tam sayı çözümlerini istediği için bu kısıtlamaya uygun kökler seçilir.

Çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları toplama

4 + 5 = 9

Bulunan pozitif tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Key Concept

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi ve İşaret Tablosu

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic