Examkin

Question

Difficulty: Very hardÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡x−2(2x2−12x+19)+2log⁡2x2−12x+19(x−2)=3\log_{x-2}(2x^2 - 12x + 19) + 2\log_{2x^2 - 12x + 19}(x-2) = 3 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    132\frac{13}{2}
  2. B
    72\frac{7}{2}
  3. C
    8
  4. 172\frac{17}{2}Answer
  5. E
    232\frac{23}{2}

Answer

Denklemi sağlayan geçerli köklerin toplamı 17/2 olur.
Denklemin doğru çözümü için değişken değiştirme yöntemi uygulanarak iki farklı durum elde edilir. Bu durumlardan elde edilen x=3x = 3 değeri logaritmanın tabanını 1 yaptığı için elenirken, geçerli olan x=72x = \frac{7}{2} ve x=5x = 5 köklerinin toplamı 172\frac{17}{2} sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Değişken değiştirme tanımlamak
u=log⁡x−2(2x2−12x+19)u = \log_{x-2}(2x^2 - 12x + 19) seçilirse, taban değiştirme kuralı gereği log⁡2x2−12x+19(x−2)=1u\log_{2x^2 - 12x + 19}(x-2) = \frac{1}{u} elde edilir.
Denklemi çözebilmek amacıyla tek bir bilinmeyenli rasyonel bir denklem kurmak.
2
Oluşan u değişkenli denklemi çözmek
u+2u=3⇒u2−3u+2=0⇒(u−1)(u−2)=0u + \frac{2}{u} = 3 \Rightarrow u^2 - 3u + 2 = 0 \Rightarrow (u-1)(u-2) = 0 olup, buradan u=1u = 1 veya u=2u = 2 bulunur.
Dönüşüm sonucunda elde edilen ikinci dereceden denklemin köklerini tespit etmek.
3
Her iki durum için x değerlerini belirlemek
u=1⇒2x2−12x+19=x−2⇒2x2−13x+21=0⇒(2x−7)(x−3)=0⇒x=72u = 1 \Rightarrow 2x^2 - 12x + 19 = x - 2 \Rightarrow 2x^2 - 13x + 21 = 0 \Rightarrow (2x-7)(x-3) = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{2} veya x=3x = 3 bulunur. u=2⇒2x2−12x+19=(x−2)2⇒x2−8x+15=0⇒(x−5)(x−3)=0⇒x=5u = 2 \Rightarrow 2x^2 - 12x + 19 = (x-2)^2 \Rightarrow x^2 - 8x + 15 = 0 \Rightarrow (x-5)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 5 veya x=3x = 3 bulunur.
Orijinal bilinmeyen olan xx değişkeninin alabileceği değerleri bulmak.
4
Köklerin logaritma tanım kümesine uygunluğunu kontrol etmek
Taban x−2x-2 ifadesinin tanımı gereği x−2>0x-2 > 0 ve x−2≠1⇒x>2x-2 \neq 1 \Rightarrow x > 2 ve x≠3x \neq 3 olmalıdır. Benzer şekilde, 2x2−12x+19>02x^2 - 12x + 19 > 0 ve 2x2−12x+19≠12x^2 - 12x + 19 \neq 1 olmalıdır. Bu şartlara göre x=3x = 3 değeri tabanı 1 yaptığı için elenir. x=72x = \frac{7}{2} ve x=5x = 5 değerleri ise tüm şartları sağlar.
Logaritma tanım kümesini ihlal eden sahte kökleri elemek.
5
Geçerli köklerin toplamını hesaplamak
72+5=172\frac{7}{2} + 5 = \frac{17}{2} bulunur.
Soruda istenen kökler toplamı değerine ulaşmak.

Key Concept

Logaritmik denklemlerin değişken değiştirme yöntemiyle çözülmesi ve logaritmanın tanım kümesi kurallarına göre kök kontrolü.
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Denklemler

More questions from this topic