Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡3(x2−4)−log⁡3(x−2)=1\log_3(x^2 - 4) - \log_3(x-2) = 1 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
  1. ∅\emptysetAnswer
  2. B
    {1}\{1\}
  3. C
    {1,2}\{1, 2\}
  4. D
    {−1,2}\{-1, 2\}
  5. E
    {2}\{2\}

Answer

Boş küme
Doğru cevap, denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesinin boş küme olduğunu ifade eden seçenektir. Çözüm süreci izlendiğinde elde edilen x=1x = 1 değeri, başlangıçtaki denklemde yer alan logaritmik terimlerin içini negatif yaptığından tanımlılık şartlarını ihlal eder ve bir kök olarak kabul edilemez. Dolayısıyla denklemi sağlayan hiçbir gerçel sayı bulunmamaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Orijinal denklemdeki logaritmik ifadelerin tanımlı olabilmesi için gerekli olan en geniş tanım kümesini belirleyin.
x2−4>0x^2 - 4 > 0 ve x−2>0x - 2 > 0 olmalıdır. Buradan x>2x > 2 veya x<−2x < -2 ve x>2x > 2 eşitsizliklerinin kesişimi alınarak x>2x > 2 elde edilir.
Logaritma tanımı gereği taban ve argüman sıf��rdan büyük olmalıdır.
2
Logaritmanın çıkarma özelliğini kullanarak sol taraftaki ifadeleri tek bir logaritma altında birleştirin.
log⁡3(x2−4x−2)=1\log_3\left(\frac{x^2 - 4}{x - 2}\right) = 1
log⁡a(b)−log⁡a(c)=log⁡a(bc)\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right) kuralı uygulan��r.
3
Logaritmanın içindeki rasyonel ifadeyi çarpanlarına ayırarak sadeleştirin.
(x−2)(x+2)x−2=x+2  ⟹  log⁡3(x+2)=1\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \implies \log_3(x+2) = 1
x>2x > 2 kabul edildiği için x−2≠0x - 2 \neq 0 olur ve sadeleştirme yapılabilir.
4
Logaritma tanımını uygulayarak denklemden xx değerini çekin.
x+2=31  ⟹  x=1x + 2 = 3^1 \implies x = 1
log⁡a(b)=c  ⟺  b=ac\log_a(b) = c \iff b = a^c tanımı kullanılır.
5
Elde edilen x=1x = 1 aday kökünün, birinci adımda belirlenen tanım kümesi şartını (x>2x > 2) sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
x=1x = 1 değeri x>2x > 2 şartını sağlamaz (1<21 < 2).
x=1x = 1 değeri orijinal denklemdeki logaritma argümanlarını negatif yaparak tanımsızlığa yol açar.
6
Bulunan aday kök elendiği için denklemin nihai çözüm kümesini yazın.
Çözüm kümesi boş kümedir (∅\emptyset).
Denklemi sağlayan hiçbir gerçel sayı bulunmamaktadır.

Key Concept

Logaritmik denklemlerin çözümünde, elde edilen köklerin orijinal ifadelerin tanım kümelerini sağlayıp sağlamadığının kontrol edilmesi gerekir.

Alternative Method

Denklem log⁡3(x2−4)=log⁡3(x−2)+1\log_3(x^2 - 4) = \log_3(x-2) + 1 şeklinde yazılabilir. Eşitliğin sağ tarafındaki 11 sayısı log⁡3(3)\log_3(3) olarak ifade edildiğinde, toplam özelliği kullanılarak log⁡3(x2−4)=log⁡3(3(x−2))\log_3(x^2 - 4) = \log_3(3(x-2)) denkliği elde edilir. Logaritma tabanları eşit olduğundan içler eşitlenir: x2−4=3x−6  ⟹  x2−3x+2=0  ⟹  (x−2)(x−1)=0x^2 - 4 = 3x - 6 \implies x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-2)(x-1) = 0 olur. Buradan aday kökler x=1x=1 ve x=2x=2 bulunur. Orijinal denklemde yer alan logaritmik ifadelerin tanımlı kalabilmesi için x>2x>2 olması gerektiğinden her iki aday kök de elenir ve çözüm kümesinin boş küme olduğu görülür.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Denklemler

More questions from this topic