\int_{1}^{2} \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} \, dx integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\int_{1}^{2} \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

İntegralin değeri

\frac{3}{5}

olarak bulunur.

Doğru yanıt olan değer,

u = x^2 + 1

dönüşümü ve güncellenmiş

[2, 5]

sınırları ile integrasyon kuralları hatasız uygulandığında elde edilen

\frac{3}{5}

ifadesidir.

Değişken dönüşümü belirleme ve diferansiyel alma

u = x^2 + 1

dönüşümü yapılır. Her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = 2x \, dx

elde edilir. Buradan

2 \, du = 4x \, dx

olur.

İntegral içindeki ifadenin daha kolay entegre edilebilir bir forma dönüştürülmesi için bu dönüşüm gereklidir.

Belirli integral sınırlarını güncelleme

Alt sınır için

x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2

olur. Üst sınır için

x = 2 \implies u = 2^2 + 1 = 5

olur.

Değişken değiştirildiğinde, belirli integralin sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.

Yeni integrali oluşturma ve hesaplama

İntegral

\int_{2}^{5} \frac{2}{u^2} \, du

halini alır. Bu integralin ters türevi

\left[ -\frac{2}{u} \right]_{2}^{5}

şeklindedir. Sınırlar yerine yazıldığında:

-\frac{2}{5} - (-\frac{2}{2}) = -\frac{2}{5} + 1 = \frac{3}{5}

elde edilir.

Belirli integralin değerini bulmak için elde edilen yeni integral sınırları kullanılarak fonksiyonun ters türevi hesaplanır.

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulandığında, integrasyon sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

Estimated Time:1m 30s

Question