Examkin

Question

Difficulty: HardParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Pozitif bir aa gerçel sayısı için ff fonksiyonu

f(x)={∣x2−a2∣x−a+b,x<ax2−2x+3,x≥af(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - a^2|}{x - a} + b, & x < a \\ x^2 - 2x + 3, & x \ge a \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında limiti olduğuna göre, bb değerinin aa cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    a2−4a+3a^2 - 4a + 3
  2. a2+3a^2 + 3Answer
  3. C
    a2−2x+3a^2 - 2x + 3
  4. D
    a2+4a+3a^2 + 4a + 3
  5. E
    a2−3a^2 - 3

Answer

b=a2+3b = a^2 + 3 ifadesidir.
Fonksiyonun x=ax = a noktasında limitinin olması için bu noktadaki sağ ve sol limitleri eşit olmalıdır. Pozitif aa değeri için sol limitte mutlak değerin içi negatif olduğundan önüne eksi alarak çıkar ve sadeleştirme sonrası sol limit −2a+b-2a + b olur. Sağ limit ise doğrudan yerine yazılarak a2−2a+3a^2 - 2a + 3 bulunur. Bu iki değer eşitlendiğinde b=a2+3b = a^2 + 3 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
x→a−x \to a^- için sol limit incelenir.
x<ax < a ve a>0a > 0 olduğundan x2−a2<0x^2 - a^2 < 0 olur. Dolayısıyla ∣x2−a2∣=−(x2−a2)|x^2 - a^2| = -(x^2 - a^2) olarak dışarı çıkar.
Mutlak değerin içerisindeki ifadenin işareti negatif olduğundan önüne eksi alarak çıkar.
2
Sol limit ifadesindeki belirsizlik giderilir ve limit değeri hesaplanır.
lim⁡x→a−(−(x−a)(x+a)x−a+b)=lim⁡x→a−(−(x+a)+b)=−2a+b\lim_{x \to a^-} \left( \frac{-(x-a)(x+a)}{x - a} + b \right) = \lim_{x \to a^-} (-(x+a) + b) = -2a + b elde edilir.
0/00/0 belirsizliğini gidermek için x−ax-a ortak çarpanları sadeleştirilir.
3
x→a+x \to a^+ için sağ limit hesaplanır.
lim⁡x→a+f(x)=lim⁡x→a+(x2−2x+3)=a2−2a+3\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} (x^2 - 2x + 3) = a^2 - 2a + 3 bulunur.
x≥ax \ge a aralığında fonksiyonun kuralı x2−2x+3x^2 - 2x + 3 olarak verilmiştir.
4
Limitin var olması için sağ ve sol limitler birbirine eşitlenir.
−2a+b=a2−2a+3  ⟹  b=a2+3-2a + b = a^2 - 2a + 3 \implies b = a^2 + 3 bulunur.
Bir noktada limitin olması için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonlarda kritik noktalarda limit varlığı için sağdan ve soldan limitlerin ayrı ayrı hesaplanıp birbirine eşitlenmesi gerekir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

More questions from this topic