Examkin

Question

Difficulty: MediumTek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları, her xx gerçel sayısı için
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)
g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x)
eşitliklerini sağlamaktadır.
f(x)+(x−1)⋅g(x)=x3+2x2−x−2f(x) + (x - 1) \cdot g(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2

olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

Answer: 18

Answer

18
Çift fonksiyonlarda her xx için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve tek fonksiyonlarda her xx için g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) eşitlikleri sağlanır. Verilen ana denklemde sırasıyla x=2x = 2 ve x=−2x = -2 yazıldığında elde edilen f(2)+g(2)=12f(2) + g(2) = 12 ve f(2)+3g(2)=0f(2) + 3g(2) = 0 denklemleri ortak çözülürse f(2)=18f(2) = 18 değeri bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemde x=2x = 2 yazarak f(2)f(2) ve g(2)g(2) terimlerini içeren birinci bağıntıyı bulmak.
f(2)+g(2)=12f(2) + g(2) = 12
x=2x = 2 değeri için e��itliğin sağ tarafı 23+2(22)−2−2=8+8−4=122^3 + 2(2^2) - 2 - 2 = 8 + 8 - 4 = 12 değerine eşit olur.
2
Denklemde x=−2x = -2 yazarak f(−2)f(-2) ve g(−2)g(-2) terimlerini içeren ikinci bağıntıyı bulmak.
f(−2)−3g(−2)=0f(-2) - 3g(-2) = 0
x=−2x = -2 değeri için eşitliğin sağ tarafı (−2)3+2(−2)2−(−2)−2=−8+8+2−2=0(-2)^3 + 2(-2)^2 - (-2) - 2 = -8 + 8 + 2 - 2 = 0 değerine eşit olur.
3
Süreçteki tek ve çift fonksiyon tanımlarını kullanarak ikinci bağıntıyı f(2)f(2) ve g(2)g(2) cinsinden ifade etmek.
f(2)+3g(2)=0f(2) + 3g(2) = 0
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) olduğundan f(−2)=f(2)f(-2) = f(2)'dir. g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) olduğundan g(−2)=−g(2)g(-2) = -g(2)'dir. Bu simetri özellikleri denklemde yerine yazıldığında f(2)−3(−g(2))=0  ⟹  f(2)+3g(2)=0f(2) - 3(-g(2)) = 0 \implies f(2) + 3g(2) = 0 elde edilir.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini ortak çözerek f(2)f(2) değerini hesaplamak.
f(2)=18f(2) = 18
f(2)+3g(2)=0f(2) + 3g(2) = 0 denkleminden f(2)+g(2)=12f(2) + g(2) = 12 denklemi taraf tarafa çıkarıldığında 2g(2)=−12  ⟹  g(2)=−62g(2) = -12 \implies g(2) = -6 bulunur. Bu değer ilk denklemde yerine yazıldığında f(2)−6=12  ⟹  f(2)=18f(2) - 6 = 12 \implies f(2) = 18 olarak hesaplanır.

Key Concept

Tek ve çift fonksiyonların cebirsel tanımları olan f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) özelliklerinin denklem sistemlerine uygulanması.

Alternative Method

Alternatif olarak, verilen fonksiyon denkleminde f(x)f(x) ve g(x)g(x) polinom fonksiyonlar olarak elde edilebilir. Bunun için denklemde xx yerine −x-x yazılır ve f(−x)=f(x)f(-x)=f(x), g(−x)=−g(x)g(-x)=-g(x) özellikleri kullanılarak iki bilinmeyenli fonksiyon denklem sistemi çözülür. Buradan genel kuralları f(x)=x4+x2−2f(x) = x^4 + x^2 - 2 ve g(x)=−x3+xg(x) = -x^3 + x olarak bulunur. Sonrasında f(2)=24+22−2=18f(2) = 2^4 + 2^2 - 2 = 18 hesaplanır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

More questions from this topic