Examkin

Question

Difficulty: HardDizilerin Uygulamaları ve Problemler

Bir kenar uzunluğu 32 cm32\text{ cm} olan kare biçimindeki bir kartonun kenar orta noktaları birleştirilerek yeni bir kare elde ediliyor. Daha sonra elde edilen bu yeni karenin de kenar orta noktaları birleştirilerek bir sonraki kare elde ediliyor ve bu işlem benzer şekilde devam ettiriliyor.

Elde edilen nn. karenin çevresi CnC_n santimetre, alanı ise AnA_n santimetrekare ile gösterilmektedir.

Buna göre, Cn≥AnC_n \geq A_n koşulunu sağlayan en küçük nn pozitif tam sayısı kaçtır?

Answer: 7

Answer

Koşulu sağlayan en küçük pozitif tam sayı değeri 7'dir.
Soruda istenen Cn≥AnC_n \geq A_n koşulu, geometrik dizinin kuralları uygulanıp genel terimler çıkarıldığında 215−n2≥211−n2^{\frac{15-n}{2}} \geq 2^{11-n} eşitsizliğine indirgenir. Bu üslü eşitsizlik çözüldüğünde n≥7n \geq 7 elde edilir ve en küçük pozitif tam sayı değeri olan 7 cevabına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Genel kenar uzunluğu dizisini oluşturma
sn=211−n2s_n = 2^{\frac{11-n}{2}}
Karenin orta noktalarının birleştirilmesiyle elde edilen yeni karenin kenar uzunluğu her seferinde 22\frac{\sqrt{2}}{2} oranında azalır ve bu bir geometrik dizi belirtir.
2
CnC_n çevre dizisinin genel terimini bulma
Cn=215−n2C_n = 2^{\frac{15-n}{2}}
Karenin çevresi bir kenar uzunluğunun 4 katına eşittir.
3
AnA_n alan dizisinin genel terimini bulma
An=211−nA_n = 2^{11-n}
Karenin alanı bir kenar uzunluğunun karesine eşittir.
4
Cn≥AnC_n \geq A_n eşitsizliğini çözerek en küçük nn değerini bulma
n≥7n \geq 7 olduğundan en küçük n=7n = 7
Üslü eşitsizliğin tabanı 1'den büyük olduğu için üslerin eşitsizliği doğrudan çözülür.

Key Concept

Geometrik dizilerin genel terimlerinin gerçek hayat ve geometri problemlerinde modellenmesi ve üslü eşitsizlikler yardımıyla çözülmesi.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Dizilerin Uygulamaları ve Problemler

More questions from this topic