Examkin

Question

Difficulty: HardDizilerin Uygulamaları ve Problemler

Aslı ve Banu, aynı gün birer birikim hesabı açarak para biriktirmeye başlamışlardır.

* Aslı, ilk ay hesabına 100 TL100\text{ TL} yatırmış ve takip eden her ay, bir önceki ay yatırdığı miktardan 20 TL20\text{ TL} daha fazla para yatırmıştır.
* Banu, ilk ay hesabına 10 TL10\text{ TL} yatırmış ve takip eden her ay, bir önceki ay yatırdığı miktarın 22 katı kadar para yatırmıştır.

Buna göre, her iki arkadaşın hesaplarında biriken toplam para miktarı göz önüne alındığında, kaçıncı ayın sonunda Banu'nun hesabındaki toplam para miktarı ilk kez Aslı'nınkinden fazla olur?

  1. A
    5
  2. B
    6
  3. 7Answer
  4. D
    8
  5. E
    9

Answer

Banu'nun biriken parasının Aslı'nın biriken parasını ilk kez geçtiği ay 7. aydır.
Yapılan hesaplamalarda Aslı'nın biriken toplam parası 10n2+90n10n^2 + 90n, Banu'nun biriken toplam parası ise 10(2n−1)10(2^n - 1) olarak bulunmuştur. n=7n = 7 değeri için Banu'nun toplam parası (1270 TL1270\text{ TL}), Aslı'nın toplam parasından (1120 TL1120\text{ TL}) ilk kez daha fazla olmaktadır. Bu yüzden 7 değeri doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Aslı'nın her ay yatırdığı para miktarlarının oluşturduğu aritmetik dizinin genel terimini ve nn ay sonunda biriken toplam para miktarını veren SA(n)S_A(n) formülünü yazınız.
Aslı'nın ödemeleri ilk terimi a1=100a_1 = 100 ve ortak farkı d=20d = 20 olan bir aritmetik dizidir. nn. terim: an=100+(n−1)20=20n+80a_n = 100 + (n-1)20 = 20n + 80. İlk nn terim toplamı: SA(n)=n2(a1+an)=n2(100+20n+80)=10n2+90nS_A(n) = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(100 + 20n + 80) = 10n^2 + 90n.
Toplam birikimi bulabilmek için aritmetik dizi toplam formülünün oluşturulması gerekir.
2
Banu'nun her ay yatırdığı para miktarlarının oluşturduğu geometrik dizinin genel terimini ve nn ay sonunda biriken toplam para miktarını veren SB(n)S_B(n) formülünü yazınız.
Banu'nun ödemeleri ilk terimi b1=10b_1 = 10 ve ortak çarpanı r=2r = 2 olan bir geometrik dizidir. İlk nn terim toplamı: SB(n)=b1rn−1r−1=102n−12−1=10(2n−1)S_B(n) = b_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} = 10 \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 10(2^n - 1).
Banu'nun toplam birikimini ifade etmek için geometrik dizi toplam formülü kullanılmalıdır.
3
Banu'nun birikiminin Aslı'nın birikiminden fazla olmasını sağlayan en küçük nn pozitif tam sayısını belirlemek için SB(n)>SA(n)S_B(n) > S_A(n) eşitsizliğini çözünüz.
10(2n−1)>10n2+90n  ⟹  2n−1>n2+9n10(2^n - 1) > 10n^2 + 90n \implies 2^n - 1 > n^2 + 9n. Değerleri denersek: n=6n = 6 için 26−1=632^6 - 1 = 63 ve 62+9(6)=906^2 + 9(6) = 90 olup 63>9063 > 90 sağlanmaz. n=7n = 7 için 27−1=1272^7 - 1 = 127 ve 72+9(7)=1127^2 + 9(7) = 112 olup 127>112127 > 112 sağlanır.
Eşitsizliğin her iki tarafı sadeleştirilerek deneme yöntemiyle en küçük nn tam sayısı tespit edilir.

Key Concept

Gerçek hayat problemlerinde aritmetik ve geometrik dizilerin ilk n terim toplamı formüllerinin uygulanması ve karşılaştırılması.
Rate this question

Topics

Dizilerin Uygulamaları ve Problemler

More questions from this topic