Examkin

Question

Difficulty: HardDizilerin Uygulamaları ve Problemler

Bir teknoloji ��irketi, yeni piyasaya sürdüğü bir akıllı cihazın haftalık satış adetlerini incelemektedir. Cihazın satışa sunulduğu ilk hafta belirli sayıda satış yapılmış ve sonraki her hafta satılan cihaz sayısı bir önceki haftaya göre sabit bir oranda artarak geometrik bir dizi oluşturmuştur. Bu cihazın ilk 4 haftada satılan toplam adedi, ilk 2 haftada satılan toplam adedinin 10 katıdır. Cihazın 5. haftadaki satış adedi, ilk haftadaki satış adedinden 2400 fazla olduğuna göre, bu cihaz ilk hafta kaç adet satılmıştır?

Answer: 30 adet

Answer

Cihazın ilk hafta satılan adedi 30'dur.
Cihazın haftalık satışları geometrik bir dizi oluşturduğu için ilk 4 haftalık toplam satışın ilk 2 haftalık toplam satışa oranı kullanılarak ortak çarpan r=3r = 3 olarak belirlenir. Daha sonra, 5. hafta ile 1. hafta arasındaki fark denkleminde ortak çarpan yerine yazıldığında ilk hafta satılan cihaz sayısı a1=30a_1 = 30 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Geometrik dizinin genel terim ve ilk nn terim toplamı formüllerini tanımlamak.
Sn=a1⋅rn−1r−1S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} ve an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
Problemi çözmek için haftalık toplam satışları ve belirli bir haftadaki satışı matematiksel olarak ifade etmek gerekir.
2
İlk 4 haftalık toplam satışın ilk 2 haftalık toplam satış��n 10 katı olduğu bilgisini denkleme dökmek.
a1⋅r4−1r−1=10⋅a1⋅r2−1r−1a_1 \cdot \frac{r^4 - 1}{r - 1} = 10 \cdot a_1 \cdot \frac{r^2 - 1}{r - 1}
Ortak çarpan rr değerini belirleyebilmek için toplam terim formüllerini oranlamak gerekir.
3
Elde edilen denklemi sadeleştirip iki kare farkı özdeşliği kullanarak ortak çarpanı çözmek.
r2+1=10⇒r2=9⇒r=3r^2 + 1 = 10 \Rightarrow r^2 = 9 \Rightarrow r = 3
a1a_1 ve r−1r-1 terimleri sadeleştirildikten sonra r4−1r^4-1 ifadesi (r2−1)(r2+1)(r^2-1)(r^2+1) şeklinde açılarak rr değeri kolayca bulunur.
4
5. hafta satışı ile 1. hafta satışı arasındaki farkı kullanarak ilk terimi veren denklemi kurmak.
a5−a1=2400⇒a1(r4−1)=2400a_5 - a_1 = 2400 \Rightarrow a_1(r^4 - 1) = 2400
İlk hafta satılan cihaz miktarını (a1a_1) bulmak için verilen fark bilgisinden yararlanılır.
5
r=3r = 3 değerini yerine yazarak ilk terimi hesaplamak.
80⋅a1=2400⇒a1=3080 \cdot a_1 = 2400 \Rightarrow a_1 = 30
Bulunan ortak çarpan denklemde yerine yazılarak bilinmeyen ilk terim elde edilir.

Key Concept

Geometrik dizi toplamı ve terimleri arasındaki ilişki ile gerçek hayat problemlerinin modellenmesi.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Dizilerin Uygulamaları ve Problemler

More questions from this topic