Türevi tüm gerçel sayılarda tanımlı ve sürekli olan bir f fonksiyonunun birinci türevi f' … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Türevi tüm gerçel sayılarda tanımlı ve sürekli olan bir

f

fonksiyonunun birinci türevi

f'

ile ifade edilmektedir.

x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}

olmak üzere,

f'(x) = \frac{2x^3 + x^2 - 2x - 1}{x^2 - 1}

eşitliği sağlanmaktadır.

$f(2) = 5$ olduğuna göre, $f(0)$ değeri kaçtır?

Fonksiyonun integral sabitiyle beraber doğru ifadesi

f(x) = x^2 + x - 1

olup, buradan

f(0) = -1

elde edilir.

Doğru cevap olan -1 değeri, integral alma kuralları uygulanarak fonksiyonun genel ifadesi olan

f(x) = x^2 + x + C

bulunduktan sonra

f(2) = 5

başlangıç koşulundan

C = -1

sabiti elde edilerek bulunur. Buradan

f(0) = -1

sonucuna ulaşılır.

Türev fonksiyonunun pay kısmını çarpanlarına ayırarak sadeleştirme yapmak.

x \neq \pm 1

için

f'(x) = \frac{(x^2 - 1)(2x + 1)}{x^2 - 1} = 2x + 1

elde edilir.

İntegral alma işlemini kolaylaştırmak amacıyla rasyonel ifadeyi sadeleştirmek gerekir.

f'(x)

fonksiyonunun belirsiz integralini alarak

f(x)

fonksiyonunun genel kuralını bulmak.

f(x) = \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C

elde edilir.

Türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral kuralları uygulanır.

Verilen

f(2) = 5

koşulunu kullanarak integral sabiti

C

'yi hesaplamak.

2^2 + 2 + C = 5 \implies 6 + C = 5 \implies C = -1

bulunur.

Belirsiz integraldeki sabit sayıyı tek bir fonksiyona indirgemek için sınır koşulu kullanılır.

Bulunan

f(x) = x^2 + x - 1

kuralında

x = 0

yazarak

f(0)

değerini bulmak.

f(0) = 0^2 + 0 - 1 = -1

elde edilir.

Soru bizden

f(0)

değerini istemektedir.

Belirsiz integral alma kuralları ve integral sabitinin başlangıç koşulu yardımıyla bulunması.

Question