Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için \int \left(… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

\int \left( 2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) \right) \, dx = x^4 - 2x^3 + 5x^2 + C

eşitliği veriliyor.

Buna göre, $f(3)$ değeri kaçtır?

Verilen integral ifadesinin içi,

(x^2 \cdot f(x))

ifadesinin türevidir. Bu sebeple integral dışına

x^2 \cdot f(x) + C_1

olarak çıkar. Eşitliğin sağ tarafındaki ifadeyle eşleştirildiğinde,

f(x)

fonksiyonunun tüm gerçel sayılarda tanımlı olabilmesi için sabit terimler farkının sıfır olması gerekir. Buradan

f(x) = x^2 - 2x + 5

fonksiyonuna ulaşılır. Bu fonksiyonda değişken yerine 3 yazıldığında sonuç 8 olarak hesaplanır.

İntegral içindeki ifadeyi analiz etmek ve çarpım türevi biçiminde yazmak.

2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) = (x^2 \cdot f(x))'

eşitliği görülür.

Çarpım türevi kuralına göre, birinci terimin türevi çarpı ikinci artı ikinci terimin türevi çarpı birinci ifadesi

(x^2 \cdot f(x))'

türevine eşittir.

Eşitliğin sol tarafındaki belirsiz integrali hesaplamak ve integral sabitlerini düzenlemek.

x^2 \cdot f(x) + C_1 = x^4 - 2x^3 + 5x^2 + C \implies x^2 \cdot f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x^2 + K

(burada

K = C - C_1

gerçel sayısıdır) elde edilir.

Türevi bilinen bir ifadenin belirsiz integrali, kendisi ile bir integral sabitinin toplamına eşittir.

Fonksiyonun gerçel sayılar kümesinde tanımlı olma koşulunu kullanarak integral sabitini bulmak.

x = 0

için sol taraf sıfır olduğundan sağ tarafın da sıfır olması gerekir. Buradan

K = 0

bulunur. Dolayısıyla

x^2 \cdot f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x^2

elde edilir.

f

fonksiyonu gerçel sayılarda tanımlı ve sürekli olduğundan,

f(x) = x^2 - 2x + 5 + \frac{K}{x^2}

ifadesinde limitin bulunabilmesi için

K = 0

olmalıdır.

f(x)

fonksiyonunu yalnız bırakarak

f(3)

değerini hesaplamak.

f(x) = x^2 - 2x + 5

olur. Buradan

f(3) = 3^2 - 2(3) + 5 = 9 - 6 + 5 = 8

bulunur.

Her iki taraf

x^2

ifadesine bölünerek genel fonksiyon kuralı elde edilir ve istenen değer yerine yazılır.

Belirsiz integral alma kuralları, türev-integral ilişkisi ve çarpım türevi integrali

Question