Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonunun türevi f'(x) … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi

f'(x) = 3x^2 - 2x + 4

olarak verilmiştir.

$f(1) = 5$ olduğuna göre, $f(2)$ değeri kaçtır?

A
11
B
12
13Answer
D
15
E
17

Answer

İntegral sabiti doğru hesaplandığında elde edilen fonksiyon yardımıyla aranan değer 13 olarak bulunur.

Verilen türev fonksiyonunun belirsiz integrali alındığında

f(x) = x^3 - x^2 + 4x + C

ifadesine ulaşılır.

f(1) = 5

başlangıç koşulu yerine yazıldığında

1 - 1 + 4 + C = 5

denklemi elde edilir ve buradan

C = 1

bulunur. Fonksiyonun kuralı

f(x) = x^3 - x^2 + 4x + 1

olarak belirlenir. Bu fonksiyonda

x = 2

yazıldığında sonuç

8 - 4 + 8 + 1 = 13

olmaktadır.

Step-by-Step Solution

Türevi verilen fonksiyonun belirsiz integralini alarak fonksiyonun genel kuralını yazın.

f(x) = \int (3x^2 - 2x + 4) \, dx = x^3 - x^2 + 4x + C

(burada

C

bir gerçel sayı olan integral sabitidir)

Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini elde etmek için belirsiz integral kuralları uygulanır.

f(1) = 5

başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti olan

C

değerini hesaplayın.

f(1) = 1^3 - 1^2 + 4(1) + C = 5 \implies 4 + C = 5 \implies C = 1

İntegral sabitinin tek bir değere sahip olması için verilen özel nokta denklemde yerine yazılır.

Belirlenen

f(x) = x^3 - x^2 + 4x + 1

fonksiyonunda

x = 2

yazarak sonucu bulun.

f(2) = 2^3 - 2^2 + 4(2) + 1 = 8 - 4 + 8 + 1 = 13

Fonksiyonun kuralı tamamen bulunduktan sonra istenen girdi değeri yerine yazılarak sonuç elde edilir.

Key Concept

Türevi verilen bir fonksiyonun belirsiz integral alma kuralları kullanılarak elde edilmesi ve başlangıç koşulu yardımıyla integral sabitinin bulunması.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic