Examkin

Question

Difficulty: HardTek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sıfırdan farklı ff ve gg fonksiyonlarından ff'nin grafiği düşey eksene göre, gg'nin grafiği ise başlangıç noktasına göre simetriktir.

Her xx gerçel sayısı için,
3f(x)−x⋅g(−x)=2x2+53f(x) - x \cdot g(-x) = 2x^2 + 5
eşitliği sağlanmaktadır.
Ayrıca,
f(2)+g(−2)=1f(2) + g(-2) = 1
olduğuna göre, f(−2)−3g(2)f(-2) - 3g(2) ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    −19-19
  2. B
    −9-9
  3. −3-3Answer
  4. D
    99
  5. E
    4141

Answer

−3-3
Grafiği düşey eksene göre simetrik olan fonksiyonlar çift (f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)), başlangıç noktasına göre simetrik olan fonksiyonlar ise tektir (g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x)). Bu kurallar doğrultusunda cebirsel ifadeler düzenlendiğinde 3f(2)+2g(2)=133f(2) + 2g(2) = 13 ve f(2)−g(2)=1f(2) - g(2) = 1 denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde g(2)=2g(2) = 2 ve f(2)=3f(2) = 3 değerlerine ulaşılır. ff çift fonksiyon olduğundan f(−2)=f(2)=3f(-2) = f(2) = 3 olur. Buradan istenen f(−2)−3g(2)f(-2) - 3g(2) ifadesinin değeri 3−3(2)=−33 - 3(2) = -3 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonların simetri özelliklerini belirleme ve cebirsel olarak ifade etme.
ff fonksiyonunun grafiği düşey eksene göre simetrik olduğundan çift fonksiyondur, yani her xx için f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) olur. gg fonksiyonunun grafiği başlangıç noktasına göre simetrik olduğundan tek fonksiyondur, yani her xx için g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) olur.
Soruda verilen geometrik simetri tanımlarını cebirsel denklemlere dönüştürmek için.
2
Birinci denklemde g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) özelliğini yerine yazma ve x=2x = 2 değerini yerleştirme.
−x⋅g(−x)=−x⋅(−g(x))=x⋅g(x)-x \cdot g(-x) = -x \cdot (-g(x)) = x \cdot g(x) olur. Bu durumda denklem 3f(x)+x⋅g(x)=2x2+53f(x) + x \cdot g(x) = 2x^2 + 5 halini alır. x=2x = 2 için 3f(2)+2g(2)=2(22)+5=133f(2) + 2g(2) = 2(2^2) + 5 = 13 elde edilir.
f(2)f(2) ve g(2)g(2) değerlerine bağlı birinci doğrusal denklemi kurmak için.
3
İkinci verilen eşitlikten ikinci denklemi oluşturma.
g(−2)=−g(2)g(-2) = -g(2) yazılırsa f(2)+g(−2)=1  ⟹  f(2)−g(2)=1f(2) + g(-2) = 1 \implies f(2) - g(2) = 1 elde edilir. Buradan f(2)=g(2)+1f(2) = g(2) + 1 yazılabilir.
f(2)f(2) ve g(2)g(2) bilinmeyenlerini içeren ikinci bağımsız denklemi elde etmek için.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözme.
3(g(2)+1)+2g(2)=13  ⟹  5g(2)+3=13  ⟹  g(2)=23(g(2) + 1) + 2g(2) = 13 \implies 5g(2) + 3 = 13 \implies g(2) = 2 bulunur. Bu değer yerine yazıldığında f(2)=2+1=3f(2) = 2 + 1 = 3 elde edilir.
Fonksiyonların 22 noktasındaki değerlerini kesin olarak hesaplamak için.
5
İstenen ifadeyi bulma.
ff çift fonksiyon olduğundan f(−2)=f(2)=3f(-2) = f(2) = 3 olur. Buradan f(−2)−3g(2)=3−3(2)=3−6=−3f(-2) - 3g(2) = 3 - 3(2) = 3 - 6 = -3 olarak bulunur.
Çift fonksiyon simetri özelliğini kullanarak nihai cevaba ulaşmak için.

Key Concept

Tek ve çift fonksiyonların grafik simetrileri ile cebirsel tanımlarının (f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x)) bir arada kullanılarak fonksiyonel denklem sistemlerinin çözülmesi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

More questions from this topic