Examkin

Question

Difficulty: MediumParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={∣x2−5x+4∣x−1+2a,x<1ax2−7,x≥1f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 5x + 4|}{x - 1} + 2a, & x < 1 \\ ax^2 - 7, & x \ge 1 \end{cases}
fonksiyonunun x=1x = 1 noktasında limiti olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Answer: -4

Answer

İstenen a gerçel sayısı -4'tür.
Fonksiyonun x=1x=1 noktasında limitinin var olması için sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması gerekir. x→1−x \to 1^- iken x<1x < 1 olduğundan x2−5x+4x^2 - 5x + 4 ifadesi pozitif değerler alır ve mutlak değer dışına aynen çıkar. Sadeleşme sonrasında sol limit 2a−32a - 3 bulunur. Sağdan limit ise a−7a - 7 olarak elde edilir. Eşitlik kurulduğunda 2a−3=a−7  ⟹  a=−42a - 3 = a - 7 \implies a = -4 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Limit varlığı için sağdan ve soldan limit eşitliği koşulunun belirlenmesi.
x→1−x \to 1^- ve x→1+x \to 1^+ limitlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Bir fonksiyonun kritik bir noktada limitinin olması için, o noktaya sağdan ve soldan yaklaşıldığında elde edilen limit değerlerinin eşit olması şarttır.
2
Soldan limitin hesaplanması ve mutlak değer için işaret analizi yapılması.
lim⁡x→1−f(x)=2a−3\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2a - 3
x→1−x \to 1^- yaklaşımında x<1x < 1 olur. Bu durumda x2−5x+4=(x−1)(x−4)x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) ifadesinin her iki çarpanı da negatif olacağından çarpım pozitif olur. Dolayısıyla ifade mutlak değer dışına aynen çıkar: ∣x2−5x+4∣=(x−1)(x−4)|x^2 - 5x + 4| = (x-1)(x-4). Pay ve paydadaki (x−1)(x-1) terimleri sadeleştiğinde limit lim⁡x→1−(x−4+2a)=2a−3\lim_{x \to 1^-} (x - 4 + 2a) = 2a - 3 olarak bulunur.
3
Sağdan limitin hesaplanması.
lim⁡x→1+f(x)=a−7\lim_{x \to 1^+} f(x) = a - 7
x→1+x \to 1^+ yaklaşımında x≥1x \ge 1 olduğundan f(x)=ax2−7f(x) = ax^2 - 7 kuralı geçerlidir. Polinom fonksiyonlarında limit doğrudan yerine koyarak bulunur: a(1)2−7=a−7a(1)^2 - 7 = a - 7.
4
Elde edilen limit değerlerinin birbirine eşitlenerek a parametresinin çözülmesi.
a=−4a = -4
Limitin var olması için sol limit (2a−32a - 3) ile sağ limit (a−7a - 7) birbirine eşit olmalıdır. Buradan 2a−3=a−7  ⟹  a=−42a - 3 = a - 7 \implies a = -4 bulunur.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların limitlerinde kritik noktalarda sağdan ve soldan limitler ayrı ayrı incelenmelidir. Mutlak değerli ifadelerde limit noktasına yaklaşılan yöne göre iç kısmın işareti belirlenip mutlak değer dışına çıkarma işlemi yapılır.
Rate this question

Topics

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

More questions from this topic