Koordinat düzleminde, y = x^2 - 4x + 7 parabolü ile bu parabolü kesmeyen y = 2x + k doğrus… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Koordinat düzleminde, $y = x^2 - 4x + 7$ parabolü ile bu parabolü kesmeyen $y = 2x + k$ doğrusu arasındaki en kısa uzaklık $\sqrt{5}$ birimdir. Buna göre, $k$ gerçek sayısı kaçtır?

Answer: -7

Answer

Parabolü kesmeyen doğrunun denklemindeki sabit terim olan k gerçek sayısı -7 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

Parabole teğet ve verilen doğruya paralel olan doğrunun denklemini yazmak.

Teğet doğrusunun denklemi

y = 2x + m

şeklindedir.

Parabol ile doğru arasındaki en kısa uzaklık, parabolün verilen doğruya paralel olan teğet doğrusu üzerinden hesaplanır.

Parabol ile teğet doğrusunun ortak çözüm denklemini oluşturmak ve teğetlik şartını (diskriminantın sıfıra eşitliğini) uygulamak.

x^2 - 4x + 7 = 2x + m \implies x^2 - 6x + (7 - m) = 0

elde edilir. Bu denklemin diskriminantı

\Delta = 36 - 4(7 - m) = 0 \implies 8 + 4m = 0 \implies m = -2

bulunur. Teğet doğrusu

y = 2x - 2

yani

2x - y - 2 = 0

olur.

Bir doğru ile bir parabolün teğet olması için ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır.

Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanarak k parametresinin alabileceği değerleri bulmak.

d = \frac{|k - (-2)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|k + 2|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \implies |k + 2| = 5

. Buradan

k = 3

veya

k = -7

bulunur.

Paralel iki doğru

ax + by + c_1 = 0

ax + by + c_2 = 0

arasındaki uzaklık

d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

formülü ile hesaplanır.

Bulunan k değerlerinin kesişmeme şartını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.

k = 3

için doğru ile parabol kesişirken (

x^2 - 6x + 4 = 0 \implies \Delta = 20 > 0

k = -7

için kesişmezler (

x^2 - 6x + 14 = 0 \implies \Delta = -20 < 0

Soruda doğrunun parabolü kesmediği belirtilmiştir.

Key Concept

Parabol ile doğrunun birbirine göre durumları ve paralel doğrular arasındaki uzaklık yardımıyla en yakın noktanın analizi.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic