Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyonların Dikey ve Yatay Ötelenmesi

Baş katsayısı 11 olan ikinci dereceden bir f(x)f(x) fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık (−∞,3](-\infty, 3] ve grafiğinin y-eksenini kestiği noktanın ordinatı 22'dir.

Bu fonksiyonun grafiği mm birim sağa ve nn birim yukarı ötelendiğinde; g(x)=0g(x) = 0 denkleminin kökleri y-eksenine göre simetrik olan ve y-eksenini −3-3 ordinatlı noktada kesen bir g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Buna göre, m+nm + n toplamı kaçtır?

  1. A
    7
  2. 1Answer
  3. C
    -8
  4. D
    -7
  5. E
    -3

Answer

Doğru cevap 1'dir.
Verilen bilgilere göre f(x) fonksiyonunun tepe noktası (3, -7) olarak bulunur. g(x) fonksiyonunun köklerinin y-eksenine göre simetrik olması, tepe noktasının y-ekseni üzerinde olmasını gerektirir. Bu durum, tepe noktasının apsisinin 0 olması anlamına gelir. Dolayısıyla fonksiyon 3 birim sola ötelenmiştir, yani m = -3'tür. Ötelenmiş fonksiyon g(x) = f(x+3) + n = x^2 - 7 + n biçimindedir. y-eksenini kesen noktanın ordinatı -3 olduğundan g(0) = -3 eşitliğinden n = 4 elde edilir. Buradan m + n = -3 + 4 = 1 sonucu bulunur.

Step-by-Step Solution

1
f(x) fonksiyonunun denklemini belirleyelim.
f(x)=(x−3)2−7f(x) = (x-3)^2 - 7
Baş katsayısı 1 olan parabolün azalan olduğu en geniş aralık (−∞,3](-\infty, 3] ise tepe noktasının apsisi r=3r = 3'tür. Parabolün denklemi f(x)=(x−3)2+kf(x) = (x-3)^2 + k şeklindedir. y-keseni 2 olduğundan f(0)=9+k=2  ⟹  k=−7f(0) = 9 + k = 2 \implies k = -7 bulunur.
2
g(x) fonksiyonunun yatay öteleme miktarı olan m değerini bulalım.
m=−3m = -3
g(x)=0g(x) = 0 denkleminin kökleri y-eksenine göre simetrik ise g(x)g(x) parabolünün tepe noktası y-ekseni üzerinde olmalıdır, yani tepe noktasının apsisi 0 olmalıdır. f(x)f(x)'in tepe noktası apsisi 3 olduğuna göre, tepe noktasını 0 yapmak için grafik 3 birim sola ötelenmelidir. mm birim sağa öteleme yapıldığından m=−3m = -3 olmalıdır.
3
g(x) fonksiyonunu tanımlayıp n değerini bulalım.
n=4n = 4
g(x)=f(x−m)+n=f(x+3)+ng(x) = f(x - m) + n = f(x + 3) + n olur. Buradan g(x)=((x+3)−3)2−7+n=x2−7+ng(x) = ((x+3)-3)^2 - 7 + n = x^2 - 7 + n elde edilir. g(x)g(x) fonksiyonunun y-keseni −3-3 olduğundan g(0)=−7+n=−3  ⟹  n=4g(0) = -7 + n = -3 \implies n = 4 bulunur.
4
m + n toplamını hesaplayalım.
m+n=−3+4=1m + n = -3 + 4 = 1
İstenen toplamı bulmak için elde edilen m ve n değerlerini toplarız.

Key Concept

İkinci dereceden fonksiyonlarda artanlık/azalanlık sınırının simetri eksenini belirlemesi ve yatay/dikey ötelemelerin tepe noktası üzerindeki etkisi.
Rate this question

Topics

Fonksiyonların Dikey ve Yatay Ötelenmesi

More questions from this topic