Examkin

Question

Difficulty: Very hardParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve x≠1x \neq 1 için
f(x)=∣x3−1∣−3∣x−1∣(x−1)∣x−1∣f(x) = \frac{|x^3 - 1| - 3|x - 1|}{(x - 1)|x - 1|}
fonksiyonu veriliyor. Buna göre, ff fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki limitinin varlığı ve değeri ile ilgili verilen 'lim⁡x→1f(x)=3\lim_{x \to 1} f(x) = 3' ifadesi doğru mudur?

Answer: Answer

Answer

Verilen limit ifadesi doğrudur. Fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki sağdan ve soldan limitleri eşit olup 33'tür.
Fonksiyonun x=1x = 1 noktasındaki sağdan ve soldan limitleri hesaplandığında, mutlak değerli terimlerin işaretleri doğru analiz edilip sadeleştirmeler yapıldığında her iki yönden limit değeri 33 olarak bulunur. Dolayısıyla verilen limit ifadesi doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
x→1+x \to 1^+ için limit incelenir.
x>1x > 1 olduğundan ∣x−1∣=x−1|x - 1| = x - 1 ve ∣x3−1∣=x3−1|x^3 - 1| = x^3 - 1 olur. Bu durumda fonksiyon f(x)=(x3−1)−3(x−1)(x−1)2f(x) = \frac{(x^3 - 1) - 3(x - 1)}{(x - 1)^2} halini alır. Pay kısmındaki ifade x3−3x+2=(x−1)2(x+2)x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan f(x)=(x−1)2(x+2)(x−1)2=x+2f(x) = \frac{(x - 1)^2(x + 2)}{(x - 1)^2} = x + 2 bulunur. Dolayısıyla lim⁡x→1+f(x)=1+2=3\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 + 2 = 3 olur.
Sağdan yaklaşırken mutlak değer içindeki ifadelerin işaretleri belirlenerek dışarı çıkarılır.
2
x→1−x \to 1^- için limit incelenir.
x<1x < 1 olduğundan ∣x−1∣=−(x−1)|x - 1| = -(x - 1) ve ∣x3−1∣=−(x3−1)|x^3 - 1| = -(x^3 - 1) olur. Bu durumda fonksiyon f(x)=−(x3−1)−3(−(x−1))−(x−1)2f(x) = \frac{-(x^3 - 1) - 3(-(x - 1))}{-(x - 1)^2} halini alır. Pay kısmı düzenlendiğinde −(x3−3x+2)=−(x−1)2(x+2)-(x^3 - 3x + 2) = -(x - 1)^2(x + 2) elde edilir. Buradan f(x)=−(x−1)2(x+2)−(x−1)2=x+2f(x) = \frac{-(x - 1)^2(x + 2)}{-(x - 1)^2} = x + 2 bulunur. Dolayısıyla lim⁡x→1−f(x)=1+2=3\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + 2 = 3 olur.
Soldan yaklaşırken mutlak değer içindeki ifadelerin işaretleri belirlenerek dışarı çıkarılır.
3
Sağ ve sol limitler karşılaştırılarak sonuç belirlenir.
lim⁡x→1+f(x)=lim⁡x→1−f(x)=3\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = 3 olduğundan, f(x)f(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasında limiti vardır ve lim⁡x→1f(x)=3\lim_{x \to 1} f(x) = 3'tür.
Bir noktadaki sağ ve sol limitler birbirine eşit ise o noktada limit vardır ve bu ortak değere eşittir.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değer içeren rasyonel ifadelerde sağdan ve soldan limit incelemesi ile belirsizlik giderme.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

More questions from this topic