Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu için her x_1, x_2 \in \mathbb{R} ve x_1 \neq x_2 olmak üzere, \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} < 0\neşitsizliği sağlanmaktadır. Buna göre, g(x) = f(x^2 - 6x + 8) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu için her x_1, x_2 \in \mathbb{R} v… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir

f

fonksiyonu için her

x_1, x_2 \in \mathbb{R}

x_1 \neq x_2

olmak üzere,

\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} < 0

eşitsizliği sağlanmaktadır.

Buna göre,

g(x) = f(x^2 - 6x + 8)

fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

A
$[3, \infty)$
B
$(-\infty, -3]$
$(-\infty, 3]$ Answer
D
$[2, 4]$
E
$(-\infty, 2]$

Answer

g fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık

(-\infty, 3]

aralığıdır.

Verilen değişim oranı bağıntısı,

f

fonksiyonunun gerçel sayılarda daima azalan olduğunu gösterir.

g(x) = f(x^2 - 6x + 8)

bileşke fonksiyonunun artan olabilmesi için, azalan bir fonksiyonun içine yazılan

u(x) = x^2 - 6x + 8

ifadesinin azalan olması gerekir. Başkatsayısı pozitif olan

u(x)

parabolünün tepe noktası

x = 3

olup, bu parabol

(-\infty, 3]

aralığında azalandır. Dolayısıyla

g(x)

fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık

(-\infty, 3]

aralığıdır.

Step-by-Step Solution

f fonksiyonunun monotonluk (artan/azalan) durumunu belirleme.

f

fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde daima azalandır.

Her

x_1 \neq x_2

için

\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} < 0

oranı verilmiştir. Bu oran fonksiyonun ortalama değişim hızı formülüdür. Değişim oranının daima negatif olması, fonksiyonun tanım kümesinde daima azalan olduğunu gösterir.

Bileşke fonksiyon yapısındaki g(x) fonksiyonunun artanlık koşulunu analiz etme.

g(x) = f(u(x))

fonksiyonunun artan olması için

u(x) = x^2 - 6x + 8

ifadesinin azalan olması gerekir.

f

azalan bir fonksiyon olduğundan, girdiler küçüldükçe çıktılar büyür. Yani

u(x_1) > u(x_2) \implies f(u(x_1)) < f(u(x_2))

olur.

g(x)

fonksiyonunun artan olması (

x_1 < x_2 \implies g(x_1) < g(x_2)

) için, içteki

u(x)

fonksiyonunun azalan (

x_1 < x_2 \implies u(x_1) > u(x_2)

) olması gerekmektedir.

u(x) = x^2 - 6x + 8 parabolünün azalan olduğu en geniş aralığı bulma.

u(x)

fonksiyonu

(-\infty, 3]

aralığında azalandır.

u(x) = x^2 - 6x + 8

parabolünün başkatsayısı

1 > 0

olduğu için kolları yukarı doğrudur. Tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3

olarak bulunur. Kolları yukarı doğru olan bir parabol tepe noktasına kadar azalandır. Bu nedenle azalan olduğu en geni�� aralık

(-\infty, 3]

aralığıdır.

Elde edilen sonuçları birleştirerek g(x) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralığı yazma.

g(x)

fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık

(-\infty, 3]

aralığıdır.

u(x)

fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık,

g(x) = f(u(x))

fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralığa eşittir.

Key Concept

Değişim oranı yardımıyla fonksiyonların artanlık ve azalanlık durumlarının belirlenmesi, bileşke fonksiyonların monotonluk analizi ve ikinci dereceden fonksiyonların (parabol) artan/azalan olduğu aralıkların bulunması.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic