Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Denklemler
cos⁡(2x)−3sin⁡(2x)=1\cos(2x) - \sqrt{3}\sin(2x) = 1

denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

  1. 5π3\frac{5\pi}{3}Answer
  2. B
    4π3\frac{4\pi}{3}
  3. C
    2π3\frac{2\pi}{3}
  4. D
    π\pi
  5. E
    7π6\frac{7\pi}{6}

Answer

Farklı gerçel köklerin toplamı olan 5π3\frac{5\pi}{3} radyandır.
Verilen denklem, her iki tarafı 22'ye bölünerek kosinüsün toplam formülü yardımıyla cos⁡(2x+π3)=12\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} haline getirilir. x∈[0,π]x \in [0, \pi] aralığı için 2x+π32x + \frac{\pi}{3} açısının alabileceği ve kosinüsü 12\frac{1}{2} olan değerler π3\frac{\pi}{3}, 5π3\frac{5\pi}{3} ve 7π3\frac{7\pi}{3} olarak bulunur. Buradan xx değerleri sırasıyla 00, 2π3\frac{2\pi}{3} ve π\pi elde edilir. Bu köklerin toplamı ise 5π3\frac{5\pi}{3} değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Denklemin her iki tarafı 22'ye bölünerek acos⁡(u)+bsin⁡(u)=ca\cos(u) + b\sin(u) = c biçimine getirilir.
12cos⁡(2x)−32sin⁡(2x)=12\frac{1}{2}\cos(2x) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) = \frac{1}{2}
Toplam-fark formüllerini uygulayabilmek için katsayıları bilinen trigonometrik değerlerle eşleştirmek gerekir.
2
cos⁡(π3)=12\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} ve sin⁡(π3)=32\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} değerleri denklemde yerine yazılarak kosinüs toplam formülü uygulanır.
cos⁡(2x)cos⁡(π3)−sin⁡(2x)sin⁡(π3)=12  ⟹  cos⁡(2x+π3)=12\cos(2x)\cos(\frac{\pi}{3}) - \sin(2x)\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \implies \cos(2x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade ederek çözümü kolaylaştırmak.
3
x∈[0,π]x \in [0, \pi] aralığı için 2x+π32x + \frac{\pi}{3} açısının değer aralığı belirlenir.
2x+π3∈[π3,7π3]2x + \frac{\pi}{3} \in [\frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}]
Belirtilen sınırlardaki köklerin doğru tespit edilebilmesi için açı aralığının güncellenmesi gerekir.
4
Kosinüsü 12\frac{1}{2} olan ve belirlenen aralıkta yer alan açılar bulunarak xx değerleri çekilir.
2x+π3=π3  ⟹  x=02x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} \implies x = 0
2x+π3=5π3  ⟹  x=2π32x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \implies x = \frac{2\pi}{3}
2x+π3=7π3  ⟹  x=π2x + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} \implies x = \pi
Trigonometrik denklemin çözüm kümesindeki elemanları tespit etmek.
5
Elde edilen farklı kökler toplanır.
0+2π3+π=5π30 + \frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{5\pi}{3}
Soruda istenen kökler toplamı değerine ulaşmak.

Key Concept

Trigonometrik Denklemlerin Toplam-Fark Formülleri ile Çözümü

Alternative Method

Denklem cos⁡(2x)−1=3sin⁡(2x)\cos(2x) - 1 = \sqrt{3}\sin(2x) şeklinde düzenlenip her iki tarafın karesi alınarak da çözülebilir. Ancak kare alma işlemi yalancı kökler üretebileceğinden, bulunan değerlerin orijinal denklemde sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilmelidir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Denklemler

More questions from this topic