Examkin

Question

Difficulty: MediumDeğişken Değiştirme Yöntemi
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫01f(x) dx=4\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 4
∫12f(x) dx=8\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8
∫23f(x) dx=16\int_{2}^{3} f(x) \, dx = 16
∫1ef(x) dx=12\int_{1}^{e} f(x) \, dx = 12
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫1ef(ln⁡x+1)x dx\int_{1}^{e} \frac{f(\ln x + 1)}{x} \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    4
  2. B
    -8
  3. 8Answer
  4. D
    12
  5. E
    16

Answer

İntegralin değeri 8'dir.
İntegralde u=ln⁡x+1u = \ln x + 1 dönüşümü yapıldığında du=1x dxdu = \frac{1}{x} \, dx olur. Sınırlar güncellendiğinde alt sınır x=1x = 1 için u=1u = 1, üst sınır x=ex = e için u=2u = 2 olur. Böylece integral ∫12f(u) du\int_{1}^{2} f(u) \, du şekline dönüşür. Verilen ∫12f(x) dx=8\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8 eşitliği kullanılarak doğru cevap 8 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır. u=ln⁡x+1u = \ln x + 1 dönüşümü yapılır.
du=1x dxdu = \frac{1}{x} \, dx elde edilir. Bu durumda integraldeki 1x dx\frac{1}{x} \, dx ifadesi dudu olur.
İntegral değişkenini xx değişkeninden uu değişkenine dönüştürmek için.
2
İntegralin sınırları yeni değişken uu cinsinden güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=ln⁡1+1=1x = 1 \implies u = \ln 1 + 1 = 1 olur. Üst sınır için x=e  ⟹  u=ln⁡e+1=2x = e \implies u = \ln e + 1 = 2 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerektiği için.
3
Elde edilen yeni integral ifadesi yazılır ve verilen değerler kullanılarak hesaplanır.
Yeni integral ∫12f(u) du\int_{1}^{2} f(u) \, du haline gelir. Soruda ∫12f(x) dx=8\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8 olarak verildiğinden integralin değeri 8 olarak bulunur.
Dönüşüm tamamlandıktan sonra integralin değerini bulmak için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

Alternative Method

Alternatif olarak, integral ∫1ef(ln⁡x+1)x dx\int_{1}^{e} \frac{f(\ln x + 1)}{x} \, dx ifadesinde t=ln⁡xt = \ln x dönüşümü yapılırsa, integral ∫01f(t+1) dt\int_{0}^{1} f(t+1) \, dt olur. Daha sonra u=t+1u = t+1 dönüşümü yapılarak yine ∫12f(u) du\int_{1}^{2} f(u) \, du integraline ulaşılır ve sonuç 8 olarak bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Değişken Değiştirme Yöntemi

More questions from this topic