\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cdot (\sin x + 1)^3 \, dx belirli integralinin değeri kaç… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cdot (\sin x + 1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

15/4

Verilen integralde

u = \sin x + 1

dönüşümü yapıldığında diferansiyel

du = \cos x \, dx

olur. Sınırlar ise

x = 0

için

u = 1

x = \frac{\pi}{2}

için

u = 2

olarak güncellenir. Bu durumda integral

\int_{1}^{2} u^3 \, du

haline gelir. Bu integralin değeri hesaplandığında 15/4 sonucu elde edilir.

İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

u = \sin x + 1

dönüşümü seçilir.

Her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = \cos x \, dx

elde edilir.

İntegral içindeki

\cos x \, dx

ifadesini yeni değişken

du

cinsinden yazabilmek için.

İntegral sınırları yeni değişken

u

değerlerine göre güncellenir.

Alt sınır için:

x = 0 \implies u = \sin 0 + 1 = 1

. Üst sınır için:

x = \frac{\pi}{2} \implies u = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 2

elde edilir.

Belirli integralde sınırların dönüşüm yapılan yeni değişkene göre güncellenmesi zorunlu olduğu için.

Yeni değişkenler ve sınırlar integralde yerine yazılarak hesaplama tamamlanır.

\int_{1}^{2} u^3 \, du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{1}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}

bulunur.

Polinom kuvvet kuralı yardımıyla integralin belirli değerini hesaplamak için.

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

İntegral

u = \sin x

dönüşümü yapılarak da çözülebilir. Bu durumda

du = \cos x \, dx

olur ve sınırlar 0 ile 1 aralığına güncellenir. İntegral ise

\int_{0}^{1} (u+1)^3 \, du

şeklini alır. Burada

t = u+1

dönüşümü yapılarak integral

\int_{1}^{2} t^3 \, dt

formuna getirilir ve aynı şekilde 15/4 sonucuna ulaşılır.

Estimated Time:2m 0s

Question