Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Denklemler
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
cos⁡(4x)+sin⁡(3x)=cos⁡(2x)\cos(4x) + \sin(3x) = \cos(2x)
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?

Answer: 6

Answer

Denklemin [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 6'dır.
Denklemin çözümü için öncelikle kosinüs fark formülü uygulanarak ifade sin⁡(3x)(1−2sin⁡(x))=0\sin(3x)(1 - 2\sin(x)) = 0 biçiminde çarpanlarına ayrılır. Buradan sin⁡(3x)=0\sin(3x) = 0 ve sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} denklemleri elde edilir. İlk denklemin [0,π][0, \pi] aralığında 4 farklı kökü, ikinci denklemin ise 2 farklı kökü vardır. Bu köklerin tamamı birbirinden farklı olduğundan denklemin toplam 6 farklı gerçel kökü bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Denklemin terimleri tek bir tarafa toplanır.
cos⁡(4x)−cos⁡(2x)+sin⁡(3x)=0\cos(4x) - \cos(2x) + \sin(3x) = 0
Dönüşüm formüllerini uygulayabilmek için terimleri gruplandırmak gerekir.
2
cos⁡(4x)−cos⁡(2x)\cos(4x) - \cos(2x) ifadesine dönüşüm formülü uygulanır.
−2sin⁡(3x)sin⁡(x)+sin⁡(3x)=0-2\sin(3x)\sin(x) + \sin(3x) = 0
cos⁡(A)−cos⁡(B)=−2sin⁡(A+B2)sin⁡(A−B2)\cos(A) - \cos(B) = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) özdeşliği kullanılır.
3
Ortak çarpan olan sin⁡(3x)\sin(3x) parantezine alınır.
sin⁡(3x)(1−2sin⁡(x))=0\sin(3x)(1 - 2\sin(x)) = 0
Çarpanlarına ayırarak her bir çarpanın sıfır olabileceği durumlar incelenir.
4
sin⁡(3x)=0\sin(3x) = 0 denkleminin [0,π][0, \pi] aralığındaki kökleri bulunur.
x∈{0,π3,2π3,π}x \in \left\{0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi\right\}
3x∈[0,3π]3x \in [0, 3\pi] olduğundan 3x=0,π,2π,3π3x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi değerlerini alabilir.
5
1−2sin⁡(x)=01 - 2\sin(x) = 0 yani sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} denkleminin [0,π][0, \pi] aralığındaki kökleri bulunur.
x∈{π6,5π6}x \in \left\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right\}
[0,π][0, \pi] aralığında sinüsü 12\frac{1}{2} olan açılar π6\frac{\pi}{6} ve 5π6\frac{5\pi}{6}'dır.
6
Tüm farklı kökler birleştirilerek toplam kök sayısı hesaplanır.
x∈{0,π6,π3,2π3,5π6,π}x \in \left\{0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}, \pi\right\} olmak üzere 6 farklı kök vardır.
Bulunan tüm kökler birbirinden farklıdır ve verilen aralığın içindedir.

Key Concept

Trigonometrik denklemleri dönüşüm formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözme.
Rate this question

Topics

Trigonometrik Denklemler

More questions from this topic