Examkin

Question

Difficulty: HardDeğişken Değiştirme Yöntemi
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫−11f(3x+1) dx=8\int_{-1}^{1} f(3x + 1) \, dx = 8
∫12f(5−3x) dx=2\int_{1}^{2} f(5 - 3x) \, dx = 2
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫−2−1f(x) dx+∫24f(x) dx\int_{-2}^{-1} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx
ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    6
  2. B
    10
  3. 18Answer
  4. D
    24
  5. E
    30

Answer

İstenen toplamın değeri 18'dir.
Doğru cevaba ulaşmak için verilen integral ifadelerinde değişken değiştirme yöntemi uygulanır. İlk integralde u=3x+1u = 3x + 1 dönüşümü yapılarak sınırlar [−2,4][-2, 4] aralığına güncellenir ve ∫−24f(x) dx=24\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 24 bulunur. İkinci integralde v=5−3xv = 5 - 3x dönüşümü yapılarak sınırlar [−1,2][-1, 2] aralığına güncellenir ve ∫−12f(x) dx=6\int_{-1}^{2} f(x) \, dx = 6 bulunur. Son olarak, belirli integralin aralık toplama özelliği kullanılarak [−2,4][-2, 4] aralığındaki integral [−2,−1][-2, -1], [−1,2][-1, 2] ve [2,4][2, 4] alt aralıklarına ayrıştırılır. Değerler yerine yazıldığında aranan toplamın 18 olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
İlk integral ifadesinde değişken değiştirme yöntemini uygulayarak sınırları güncelleyin.
u=3x+1  ⟹  du=3 dx  ⟹  dx=du3u = 3x + 1 \implies du = 3 \, dx \implies dx = \frac{du}{3} olur.
Sınırlar:
x=−1  ⟹  u=3(−1)+1=−2x = -1 \implies u = 3(-1) + 1 = -2
x=1  ⟹  u=3(1)+1=4x = 1 \implies u = 3(1) + 1 = 4
Bu durumda integral:
∫−24f(u)du3=8  ⟹  ∫−24f(u) du=24\int_{-2}^{4} f(u) \frac{du}{3} = 8 \implies \int_{-2}^{4} f(u) \, du = 24 elde edilir.
İntegrali f(x)f(x) türünden yazabilmek ve [−2,4][-2, 4] aralığındaki toplam integral değerini elde etmek için.
2
İkinci integral ifadesinde değişken değiştirme yöntemini uygulayarak sınırları güncelleyin.
v=5−3x  ⟹  dv=−3 dx  ⟹  dx=−dv3v = 5 - 3x \implies dv = -3 \, dx \implies dx = -\frac{dv}{3} olur.
Sınırlar:
x=1  ⟹  v=5−3(1)=2x = 1 \implies v = 5 - 3(1) = 2
x=2  ⟹  v=5−3(2)=−1x = 2 \implies v = 5 - 3(2) = -1
Bu durumda integral:
∫2−1f(v)(−dv3)=2  ⟹  13∫−12f(v) dv=2  ⟹  ∫−12f(v) dv=6\int_{2}^{-1} f(v) \left(-\frac{dv}{3}\right) = 2 \implies \frac{1}{3} \int_{-1}^{2} f(v) \, dv = 2 \implies \int_{-1}^{2} f(v) \, dv = 6 elde edilir.
İntegrali f(x)f(x) türünden yazabilmek ve [−1,2][-1, 2] aralığındaki integral değerini bulmak için.
3
Belirli integralin aralık toplama özelliğini kullanarak aranan integral toplamını hesaplayın.
Belirli integralin sınır özellikleri gereği:
∫−24f(x) dx=∫−2−1f(x) dx+∫−12f(x) dx+∫24f(x) dx\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = \int_{-2}^{-1} f(x) \, dx + \int_{-1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx
yazılabilir. Bulduğumuz değerleri yerine yazalım:
24=(∫−2−1f(x) dx+∫24f(x) dx)+624 = \left( \int_{-2}^{-1} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx \right) + 6
Buradan,
∫−2−1f(x) dx+∫24f(x) dx=24−6=18\int_{-2}^{-1} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 24 - 6 = 18 bulunur.
Bulunan [−2,4][-2, 4] ve [−1,2][-1, 2] aralıklarındaki integral değerleri yardımıyla istenen parçalı integral toplamını elde etmek için.

Key Concept

Değişken Değiştirme Yöntemi ve Belirli İntegralin Aralık Parçalama Özelliği
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Değişken Değiştirme Yöntemi

More questions from this topic