Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyonların Dikey ve Yatay Ötelenmesi

f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 fonksiyonunun grafiği;
* xx ekseni boyunca pozitif yönde aa birim (a>0a > 0),
* yy ekseni boyunca negatif yönde bb birim (b>0b > 0)
ötelenerek bir g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

Bu öteleme sonucunda elde edilen g(x)g(x) parabolünün tepe noktası T2T_2, f(x)f(x) parabolünün tepe noktası ise T1T_1 olmaktadır.

T1T_1 ve T2T_2 noktalarından geçen doğrunun eğimi −075-0{}75 ve bu iki nokta arasındaki uzaklık 1010 birim olduğuna göre, g(0)g(0) değeri kaçtır?

  1. A
    15
  2. B
    27
  3. C
    51
  4. 111Answer
  5. E
    69

Answer

Öteleme miktarları doğru bir şekilde belirlenip fonksiyon kuralları uygulandığında g(0)g(0) değeri 111 olarak bulunur.
Verilen parabolün tepe noktası T1(3,−4)T_1(3, -4) olarak hesaplanır. Sağa aa ve aşağı bb birimlik öteleme, tepe noktasını T2(3+a,−4−b)T_2(3+a, -4-b) noktasına taşır. Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi −ba=−34-\frac{b}{a} = -\frac{3}{4} bağıntısını verir. İki nokta arasındaki uzaklık ise a2+b2=100a^2 + b^2 = 100 eşitliğini sağlar. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde a=8a = 8 ve b=6b = 6 değerlerine ulaşılır. Böylece yeni fonksiyon g(x)=f(x−8)−6g(x) = f(x-8) - 6 olarak tanımlanır. g(0)=f(−8)−6g(0) = f(-8) - 6 ifadesinde f(−8)=117f(-8) = 117 değeri yerine yazıldığında sonuç 111 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İlk parabolün tepe noktasını bulma
T1(3,−4)T_1(3, -4)
f(x)=x2−6x+5f(x) = x^2 - 6x + 5 parabolünde tepe noktasının apsisi r=−−62=3r = -\frac{-6}{2} = 3 ve ordinatı k=f(3)=32−6(3)+5=−4k = f(3) = 3^2 - 6(3) + 5 = -4 olur.
2
Ötelenmiş parabolün tepe noktasını tanımlama
T2(3+a,−4−b)T_2(3+a, -4-b)
Grafik sağa (pozitif yönde) aa birim ve aşağı (negatif yönde) bb birim ötelendiği için tepe noktasının yeni koordinatları bu şekilde değişir.
3
Eğim ve uzaklık ilişkisini kullanarak aa ve bb değerlerini çözme
a=8a = 8 ve b=6b = 6
Eğim m=−ba=−075=−34  ⟹  b=34am = \frac{-b}{a} = -0{}75 = -\frac{3}{4} \implies b = \frac{3}{4}a olur. İki nokta arasındaki uzaklık formülünden a2+b2=102  ⟹  a2+916a2=100  ⟹  2516a2=100  ⟹  a2=64  ⟹  a=8a^2 + b^2 = 10^2 \implies a^2 + \frac{9}{16}a^2 = 100 \implies \frac{25}{16}a^2 = 100 \implies a^2 = 64 \implies a = 8 ve b=6b = 6 bulunur.
4
g(x)g(x) kuralını yazıp g(0)g(0) değerini hesaplama
g(0)=111g(0) = 111
g(x)=f(x−8)−6g(x) = f(x - 8) - 6 olur. Buradan g(0)=f(−8)−6g(0) = f(-8) - 6 elde edilir. f(−8)=(−8)2−6(−8)+5=117f(-8) = (-8)^2 - 6(-8) + 5 = 117 olduğundan g(0)=117−6=111g(0) = 117 - 6 = 111 bulunur.

Key Concept

İkinci dereceden fonksiyonlarda dikey ve yatay öteleme kuralları, ötelemenin tepe noktasına etkisi ile analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık ve eğim kavramlarının koordinat takibi ile birleştirilmesi.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonların Dikey ve Yatay Ötelenmesi

More questions from this topic