Examkin

Question

Difficulty: HardParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={x2+ax−12∣x−3∣,x<32x+b,x≥3f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + ax - 12}{|x - 3|}, & x < 3 \\ 2x + b, & x \ge 3 \end{cases}
fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında limiti vardır.
Buna göre, a−ba - b farkı kaçtır?
  1. A
    0
  2. B
    2
  3. C
    8
  4. 14Answer
  5. E
    -12

Answer

Farkın değeri 14'tür.
Fonksiyonun x=3x=3 noktasında limitinin olması için sol ve sağ limitlerin eşit olması gerekir. Sol limit hesaplanırken 0/00/0 belirsizliğinin olması gerektiğinden a=1a=1 bulunur. x<3x < 3 için ∣x−3∣=−(x−3)|x-3| = -(x-3) olarak çıkarılır ve limit −7-7 bulunur. Sağ limit 6+b6+b olduğundan, −7=6+b  ⟹  b=−13-7 = 6+b \implies b = -13 bulunur. Buradan a−b=1−(−13)=14a-b = 1 - (-13) = 14 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Limitin varlık koşulunun belirlenmesi
x=3x = 3 noktasındaki limitin var olması için soldan ve sağdan limitlerin birbirine eşit ve birer gerçel sayı olması gerekir.
Parçalı tanımlı fonksiyonlarda kritik noktalarda limitin bulunması için sağ ve sol limitlerin eşit olması şarttır.
2
Sol limitin hesaplanması ve belirsizliğin giderilmesi
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3−x2+ax−12∣x−3∣\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{x^2 + ax - 12}{|x - 3|} ifadesinde payda sıfır olduğundan limitin gerçel sayı çıkması için pay da sıfır olmalıdır. Buradan 32+3a−12=0  ⟹  3a=3  ⟹  a=13^2 + 3a - 12 = 0 \implies 3a = 3 \implies a = 1 bulunur. Pay x2+x−12=(x−3)(x+4)x^2 + x - 12 = (x-3)(x+4) olarak çarpanlarına ayrılır. x<3x < 3 için ∣x−3∣=−(x−3)|x-3| = -(x-3) olduğundan sol limit lim⁡x→3−(x−3)(x+4)−(x−3)=lim⁡x→3−−(x+4)=−7\lim_{x \to 3^-} \frac{(x-3)(x+4)}{-(x-3)} = \lim_{x \to 3^-} -(x+4) = -7 olur.
Sıfır bölü sıfır belirsizliğinin giderilmesi ve mutlak değerin tanım aralığına göre dışarı çıkarılması gerekmektedir.
3
Sağ limitin hesaplanması ve limitlerin eşitlenmesi
Sağ limit lim⁡x→3+f(x)=lim⁡x→3+(2x+b)=6+b\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (2x + b) = 6 + b olur. Limitlerin eşitliğinden −7=6+b  ⟹  b=−13-7 = 6 + b \implies b = -13 elde edilir.
Kritik noktadaki limit değerini belirlemek için sağ limit sol limite eşitlenir.
4
İstenen farkın hesaplanması
a−b=1−(−13)=14a - b = 1 - (-13) = 14 bulunur.
Soruda istenen a−ba-b farkı bu şekilde hesaplanır.

Key Concept

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitinde kritik noktalarda sağdan ve soldan limit incelemesi ile belirsizlik durumlarının çözülmesi.
Rate this question

Topics

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

More questions from this topic