Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Denklemler
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere, tan⁡(x)+cot⁡(x)=43\tan(x) + \cot(x) = \frac{4}{\sqrt{3}} denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı π2\frac{\pi}{2} radyandır.

Answer: Answer

Answer

Verilen matematiksel ifade doğrudur.
Verilen denklem çözüldüğünde [0,π][0, \pi] aralığındaki gerçel köklerin π6\frac{\pi}{6} ve π3\frac{\pi}{3} olduğu görülür. Bu köklerin toplamı π2\frac{\pi}{2} radyan olduğundan ifade doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
tan⁡(x)+cot⁡(x)\tan(x) + \cot(x) ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazarak paydaları eşitleyin.
sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)sin⁡(x)cos⁡(x)=1sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} elde edilir.
Trigonometrik denklemleri çözmek için öncelikle ifadeleri daha sade bir forma dönüşt��rmek gerekir.
2
Paydadaki sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(x)\cos(x) ifadesi için sinüs yarım açı formül��nü (sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)) uygulayarak denklemi yeniden düzenleyin.
1sin⁡(x)cos⁡(x)=2sin⁡(2x)\frac{1}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{2}{\sin(2x)} olur. Buradan denklemi 2sin⁡(2x)=43\frac{2}{\sin(2x)} = \frac{4}{\sqrt{3}} şeklinde yazıp içler dışlar çarpımı yaparsak sin⁡(2x)=32\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.
Farklı trigonometrik fonksiyonlar içeren ifadeyi tek bir sinüs fonksiyonu cinsinden yazarak denklemi çözülebilir hale getirmek amaçlanır.
3
x∈[0,π]x \in [0, \pi] aralığı için 2x∈[0,2π]2x \in [0, 2\pi] olduğunu göz önünde bulundurarak sin⁡(2x)=32\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} denkleminin köklerini bulun.
2x=π3  ⟹  x1=π62x = \frac{\pi}{3} \implies x_1 = \frac{\pi}{6} ve 2x=2π3  ⟹  x2=π32x = \frac{2\pi}{3} \implies x_2 = \frac{\pi}{3} bulunur.
Belirlenen aralıkta sinüs değerini 32\frac{\sqrt{3}}{2} yapan tüm açı değerlerini tespit etmek gerekir.
4
Bulunan köklerin toplamını hesaplayarak ifadedeki değerle karşılaştırın.
x1+x2=π6+π3=3π6=π2x_1 + x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} radyandır.
İfadenin doğruluğunu kesin olarak teyit etmek için kökler toplamı kontrol edilir.

Key Concept

Trigonometrik denklemlerde özdeşlikler ve yarım açı formülleri yardımıyla kök bulma

Alternative Method

tan⁡(x)+cot⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)sin⁡(x)\tan(x) + \cot(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} ifadesinde paydalar eşitlendiğinde pay kısmında sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 özdeşliği elde edilir. Buradan doğrudan paydanın sin⁡(x)cos⁡(x)=34\sin(x)\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} olması gerektiği görülür. Bu eşitliğin her iki tarafı 2 ile çarpılarak yarım açı formülünden sin⁡(2x)=32\sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} denklemine daha hızlı ulaşılabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Denklemler

More questions from this topic