Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Denklemler
x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi] olmak üzere,
sin⁡(2x)−2sin⁡(x)+cos⁡(x)−1=0\sin(2x) - 2\sin(x) + \cos(x) - 1 = 0
denklemini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaç radyandır?
  1. A
    2π2\pi
  2. B
    3π3\pi
  3. C
    4π4\pi
  4. 5π5\piAnswer
  5. E
    7π2\frac{7\pi}{2}

Answer

Denklemin [0,2π][0, 2\pi] aralığındaki farklı köklerinin toplamı 5π5\pi radyandır.
Denklem yarım açı formülüyle açılıp (2sin⁡(x)+1)(cos⁡(x)−1)=0(2\sin(x) + 1)(\cos(x) - 1) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrıldığında, cos⁡(x)=1\cos(x) = 1 ve sin⁡(x)=−1/2\sin(x) = -1/2 denklemleri elde edilir. Belirtilen [0,2π][0, 2\pi] kapalı aralığında cos⁡(x)=1\cos(x) = 1 denklemini sağlayan değerler 00 ve 2π2\pi; sin⁡(x)=−1/2\sin(x) = -1/2 denklemini sağlayan değerler ise 7π6\frac{7\pi}{6} ve 11π6\frac{11\pi}{6}'dır. Bu değerlerin toplamı 0+2π+7π6+11π6=5π0 + 2\pi + \frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} = 5\pi olduğundan doğru yanıt 5π5\pi değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Yarım açı formülü kullanarak sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesini açın.
Denklem 2sin⁡(x)cos⁡(x)−2sin⁡(x)+cos⁡(x)−1=02\sin(x)\cos(x) - 2\sin(x) + \cos(x) - 1 = 0 şekline dönüşür.
Denklemi ortak çarpan parantezine alabilmek için tüm terimleri benzer trigonometrik ifadeler cinsinden yazmalıyız.
2
İfadeyi gruplandırarak ortak çarpan parantezine alın.
2sin⁡(x)(cos⁡(x)−1)+1(cos⁡(x)−1)=0⇒(2sin⁡(x)+1)(cos⁡(x)−1)=02\sin(x)(\cos(x) - 1) + 1(\cos(x) - 1) = 0 \Rightarrow (2\sin(x) + 1)(\cos(x) - 1) = 0 elde edilir.
Çarpım durumuna getirilen denklemin köklerini ayrı ayrı bulmak kolaylaşır.
3
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek temel trigonometrik denklemleri elde edin.
2sin⁡(x)+1=0⇒sin⁡(x)=−122\sin(x) + 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = -\frac{1}{2} ve cos⁡(x)−1=0⇒cos⁡(x)=1\cos(x) - 1 = 0 \Rightarrow \cos(x) = 1 denklemleri bulunur.
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
4
Elde edilen denklemlerin [0,2π][0, 2\pi] aralığındaki köklerini bulun.
cos⁡(x)=1\cos(x) = 1 için x=0x = 0 ve x=2πx = 2\pi; sin⁡(x)=−12\sin(x) = -\frac{1}{2} için x=7π6x = \frac{7\pi}{6} ve x=11π6x = \frac{11\pi}{6} elde edilir.
Belirtilen kapalı aralıkta bu fonksiyonların aldığı değerlere karşılık gelen açıları belirlememiz gerekir.
5
Bulunan tüm farklı kökleri toplayın.
0+2π+7π6+11π6=2π+3π=5π0 + 2\pi + \frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} = 2\pi + 3\pi = 5\pi bulunur.
Soruda denklemi sağlayan tüm farklı gerçel sayıların toplamı istenmektedir.

Key Concept

Trigonometrik denklemlerin yarım açı ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözülmesi, belirli bir aralıktaki köklerin bulunması.
Rate this question

Topics

Trigonometrik Denklemler

More questions from this topic