f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere, f fonksiyonu f(x) = 4\sin\left(\frac{3\p… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

olmak üzere,

f

fonksiyonu

f(x) = 4\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)

kuralı ile verilmiştir.
Buna göre,

\lim_{h \to 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{6} + 3h\right) - f\left(\frac{\pi}{6} - h\right)}{2h}

limitinin değeri kaçtır?

Verilen limit ifadesi düzenlendiğinde

2f'\left(\frac{\pi}{6}\right)

değerine karşılık gelir. Fonksiyonun indirgenmiş hali

f(x) = -4\cos(x)

olup türevi

f'(x) = 4\sin(x)

şeklindedir.

x = \frac{\pi}{6}

için türev değeri 2 olduğundan limitin sonucu

2 \times 2 = 4

bulunur.

f(x)

fonksiyonunu trigonometrik indirgeme kuralları ile sadeleştirin.

f(x) = 4\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -4\cos(x)

\frac{3\pi}{2}

açısına göre indirgeme yapıldığında sinüs fonksiyonu kosinüse dönüşür ve üçüncü bölgede sinüs negatif olduğu için önüne eksi işareti gelir.

f(x)

fonksiyonunun türevini al��n.

f'(x) = -4(-\sin(x)) = 4\sin(x)

Kosinüs fonksiyonunun türevi

-\sin(x)

olduğundan zincir kuralı gereği eksi işaretleri birbirini artı yapar.

x = \frac{\pi}{6}

noktasındaki türev değerini hesaplayın.

f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = 4\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 4 \times \frac{1}{2} = 2

\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}

değeri türev fonksiyonunda yerine yazılır.

Verilen limit ifadesini türevin limit tanımı cinsinden düzenleyin.

\lim_{h \to 0} \frac{f\left(\frac{\pi}{6} + 3h\right) - f\left(\frac{\pi}{6} - h\right)}{2h} = 2f'\left(\frac{\pi}{6}\right)

Pay kısmındaki terimlerin türev katsayıları

3 - (-1) = 4

olup paydadaki 2 ile bölündüğünde

2f'\left(\frac{\pi}{6}\right)

ifadesine eşit olur.

Bulunan türev değerini limit ifadesinde yerine yazarak sonucu bulun.

2 \times 2 = 4

Daha önce hesaplanan

f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2

değeri yerine konur.

Türevin limit tanımı ve trigonometrik fonksiyonların indirgeme özellikleri ile türev hesabı

Question