Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡3(x2)⋅log⁡2(x)=4log⁡2(x)\log_3(x^2) \cdot \log_2(x) = 4\log_2(x)

denkleminin gerçel sayılardaki köklerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    00
  2. B
    11
  3. C
    99
  4. 1010Answer
  5. E
    829\frac{82}{9}

Answer

Gerçel köklerin toplamı olan 10 sayısıdır.
Denklem, sol tarafa toplanıp ortak çarpan parantezine alındığında log⁡2(x)⋅(log⁡3(x2)−4)=0\log_2(x) \cdot (\log_3(x^2) - 4) = 0 halini alır. Buradan log⁡2(x)=0\log_2(x) = 0 eşitliğini sağlayan kök x=1x = 1 ve log⁡3(x2)=4\log_3(x^2) = 4 eşitliğini sağlayan köklerden tanım kümesine (x>0x > 0) uyan kök x=9x = 9 olarak bulunur. Bu iki kökün toplamı 1+9=101 + 9 = 10 eder.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemin sağ tarafındaki terimi sol tarafa atarak ortak çarpan parantezine alalım.
log⁡2(x)⋅(log⁡3(x2)−4)=0\log_2(x) \cdot (\log_3(x^2) - 4) = 0
Denklemi çarpanlarına ayırarak çözüme ulaşmak için.
2
Birinci çarpanı sıfıra eşitleyip tanım kümesine uygunluğunu denetleyelim.
log⁡2(x)=0⇒x=20=1\log_2(x) = 0 \Rightarrow x = 2^0 = 1. Bu değer logaritmanın tanım kümesi olan x>0x > 0 koşulunu sağlar.
Çarpımın sonucunun sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerektiğinden.
3
İkinci çarpanı sıfıra eşitleyip elde edilen köklerin tanım kümesine uygunluğunu denetleyelim.
log⁡3(x2)−4=0⇒log⁡3(x2)=4⇒x2=34=81⇒x=9\log_3(x^2) - 4 = 0 \Rightarrow \log_3(x^2) = 4 \Rightarrow x^2 = 3^4 = 81 \Rightarrow x = 9 veya x=−9x = -9. Ancak logaritma tanım kümesi gereği x>0x > 0 olmalıdır, bu yüzden x=−9x = -9 elenir ve sadece x=9x = 9 geçerli bir kök olarak alınır.
Logaritmik fonksiyonların tanımlı olması için argümanların pozitif olması gerektiğinden.
4
Bulunan geçerli köklerin toplamını hesaplayalım.
1+9=101 + 9 = 10
Denklemin gerçel köklerinin toplamını bulmak için.

Key Concept

Üstel ve Logaritmik Denklemlerin Çözüm Kümesi ve Tanım Kümesi Kontrolü
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Denklemler

More questions from this topic