Examkin

Question

Difficulty: MediumDeğişken Değiştirme Yöntemi

Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için f(1)=2f(1) = 2 ve f(5)=8f(5) = 8 eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre,
∫13f′(2x−1)⋅[f(2x−1)]2 dx\int_{1}^{3} f'(2x-1) \cdot [f(2x-1)]^2 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

  1. A
    168
  2. 84Answer
  3. C
    623\frac{62}{3}
  4. D
    263\frac{26}{3}
  5. E
    133\frac{13}{3}

Answer

84 değeri doğrudur.
Dönüşüm u=f(2x−1)u = f(2x-1) olarak seçildiğinde diferansiyel du=2f′(2x−1)dxdu = 2f'(2x-1)dx olur ve integral sınırları x=1x=1 için u=2u=2, x=3x=3 için u=8u=8 olarak güncellenir. Bu durumda integral 12∫28u2du\frac{1}{2} \int_{2}^{8} u^2 du haline gelir ve hesaplandığında 84 değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Değişken değiştirme dönüşümü belirlenir ve diferansiyel al��nır.
u=f(2x−1)u = f(2x-1) dönüşümü yapıldığında, her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=2⋅f′(2x−1) dxdu = 2 \cdot f'(2x-1) \, dx elde edilir. Buradan f′(2x−1) dx=du2f'(2x-1) \, dx = \frac{du}{2} bulunur.
Verilen integrali u değişkenine bağlı daha kolay çözülebilir bir biçime dönüştürmek için.
2
Belirli integral sınırları yeni değişken u'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1⇒u=f(2(1)−1)=f(1)=2x = 1 \Rightarrow u = f(2(1)-1) = f(1) = 2 olur. Üst sınır için x=3⇒u=f(2(3)−1)=f(5)=8x = 3 \Rightarrow u = f(2(3)-1) = f(5) = 8 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integralin sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunlu olduğu için.
3
Yeni integral ifadesi oluşturulup hesaplanır.
∫28u2⋅du2=12[u33]28=16(83−23)=16(512−8)=5046=84\int_{2}^{8} u^2 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{2}^{8} = \frac{1}{6} (8^3 - 2^3) = \frac{1}{6} (512 - 8) = \frac{504}{6} = 84 elde edilir.
İntegral alma kuralları ve belirli integral hesaplama adımları uygulanarak nihai sayısal değere ulaşmak için.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların güncellenmesi ve diferansiyel alırken zincir kuralına (içinin türevine) dikkat edilmesi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Değişken Değiştirme Yöntemi

More questions from this topic