Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel ve Logaritmik Denklemler
log⁡3(x−1)+log⁡3(x−3)=log⁡3(x+17)\log_3(x - 1) + \log_3(x - 3) = \log_3(x + 17)

denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: 7

Answer

Denklemi sağlayan tek gerçel kök 77 olduğundan, kökler toplam�� 77 dir.
Denklemin tek gerçel kökü olan 77 değeri tanım aralığı olan x>3x > 3 koşulunu sağladığı için doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesi kısıtlamalarını belirleme
x>3x > 3
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tüm logaritma argümanlarının sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritma toplama özelliğini kullanarak sol tarafı tek logaritma altında birleştirme
log⁡3(x2−4x+3)=log⁡3(x+17)\log_3(x^2 - 4x + 3) = \log_3(x + 17)
Aynı tabandaki logaritmik ifadelerin toplamı, argümanların çarpımına eşittir.
3
Tabanlar eşit olduğundan argümanları eşitleyip oluşan ikinci dereceden denklemi çözme
x=7x = 7 veya x=−2x = -2
x2−4x+3=x+17  ⟹  x2−5x−14=0  ⟹  (x−7)(x+2)=0x^2 - 4x + 3 = x + 17 \implies x^2 - 5x - 14 = 0 \implies (x - 7)(x + 2) = 0 olur.
4
Bulunan köklerin tanım kümesi şartına uygunluğunu denetleme
x=7x = 7 geçerli kök, x=−2x = -2 geçersiz kök
x=−2x = -2 değeri x>3x > 3 tanım kümesi şartını sağlamadığından yalancı köktür.

Key Concept

Logaritmik denklemlerin çözümünde elde edilen köklerin mutlaka logaritmanın tanım kümesi kuralları ile kontrol edilmesi gerekir.
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Denklemler

More questions from this topic