Examkin

Question

Difficulty: MediumTürevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={ax2+bx+4,x<3∣x2−5∣,x≥3f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 4, & x < 3 \\ |x^2 - 5|, & x \ge 3 \end{cases}
fonksiyonu her gerçel sayı için türevlenebilir olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?
  1. A
    -16
  2. -12Answer
  3. C
    -8
  4. D
    8
  5. E
    12

Answer

−12-12
Fonksiyonun tüm gerçel sayılarda türevlenebilir olması için kritik nokta olan x=3x = 3 noktasında sürekli ve türevlenebilir olması gerekir. Süreklilik şartından 3a+b=03a + b = 0, türevlenebilirlik şartından ise 6a+b=66a + b = 6 elde edilir. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde a=2a = 2 ve b=−6b = -6 bulunur. Buradan çarpımları −12-12 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Süreklilik Şartının İncelenmesi
9a+3b+4=4  ⟹  3a+b=09a + 3b + 4 = 4 \implies 3a + b = 0 denklemine ulaşılır.
Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması zorunludur.
2
Türevlenebilirlik Şartının İncelenmesi
6a+b=66a + b = 6 denklemine ulaşılır.
Türevlenebilirlik için limit noktasındaki sağ ve sol türev değerleri birbirine eşit olmalıdır.
3
Denklem Sisteminin Çözülmesi ve Sonuç
a=2a = 2, b=−6b = -6 bulunur ve buradan a⋅b=−12a \cdot b = -12 elde edilir.
İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi taraf tarafa çıkarma yöntemiyle çözülebilir.

Key Concept

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için o noktada sürekli olması ve o noktadaki sağ ve sol türevlerinin birbirine eşit olması gerekir.

Alternative Method

Türevlenebilirlik tanımı limit formülü kullanılarak da sağdan ve soldan limitlerle türevler hesaplanabilir. Ancak pratik olarak sağ ve sol dalların türev fonksiyonlarının limitleri alınarak eşitleme yapmak daha hızlı bir çözüm sunar.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Türevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

More questions from this topic