Examkin

Question

Difficulty: HardTrigonometrik Denklemler
cos⁡(3x)cos⁡(x)=2sin⁡(x)\frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 2\sin(x)

denkleminin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

  1. A
    2π5\frac{2\pi}{5}
  2. B
    3π5\frac{3\pi}{5}
  3. π\piAnswer
  4. D
    6π5\frac{6\pi}{5}
  5. E
    3π2\frac{3\pi}{2}

Answer

Denklemin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı π\pi radyandır.
Denklemin (0,π)(0, \pi) açık aralığında tanımlı ve geçerli olan iki kökü vardır. Bu kökler π10\frac{\pi}{10} ve 9π10\frac{9\pi}{10} değerleridir. Bu iki kökün toplamı π10+9π10=π\frac{\pi}{10} + \frac{9\pi}{10} = \pi radyandır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemi içler dışlar çarpımı yaparak düzenlemek ve tanımsızlık şartını belirlemek.
cos⁡(3x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\cos(3x) = 2\sin(x)\cos(x) elde edilir. Burada sağ tarafta yarım açı formülü uygulanırsa denklem cos⁡(3x)=sin⁡(2x)\cos(3x) = \sin(2x) biçimine dönüşür. Ancak başlangıçtaki rasyonel ifadede payda sıfırdan farklı olmak zorunda olduğundan, cos⁡(x)≠0\cos(x) \neq 0 yani x≠π2+kπx \neq \frac{\pi}{2} + k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}) olmalıdır.
Denklemi standart trigonometrik denklem çözme formuna getirmek ve paydayı sıfır yapan değerleri çözüm kümesinden elemek için.
2
Kosinüs ve sinüs ifadelerini aynı cinsten yazarak genel çözüm formüllerini oluşturmak.
cos⁡(3x)=cos⁡(π2−2x)\cos(3x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) olarak yazılır. Buradan iki farklı genel çözüm durumu ortaya çıkar:

1. Durum:
3x=(π2−2x)+2kπ  ⟹  5x=π2+2kπ  ⟹  x=π10+2kπ53x = \left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) + 2k\pi \implies 5x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{2k\pi}{5}

2. Durum:
3x=−(π2−2x)+2kπ  ⟹  3x=−π2+2x+2kπ  ⟹  x=−π2+2kπ3x = -\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) + 2k\pi \implies 3x = -\frac{\pi}{2} + 2x + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi
Kosinüs denklemlerinin genel çözüm kurallarını uygulayarak tüm olası kökleri içeren formüllere ulaşmak için.
3
Genel çözümlerden (0,π)(0, \pi) açık aralığına düşen kökleri bulmak ve geçerliliğini denetlemek.
1. Durum için:
- k=0  ⟹  x1=π10k=0 \implies x_1 = \frac{\pi}{10} (Aralıktadır ve cos⁡(x1)≠0\cos(x_1) \neq 0 şartını sağlar.)
- k=1  ⟹  x2=5π10=π2k=1 \implies x_2 = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2} (Aralıktadır ancak başlangıçtaki denklemin paydasını sıfır yaptığı için geçersizdir.)
- k=2  ⟹  x3=9π10k=2 \implies x_3 = \frac{9\pi}{10} (Aralıktadır ve cos⁡(x3)≠0\cos(x_3) \neq 0 şartını sağlar.)
- Diğer kk değerleri için kökler (0,π)(0, \pi) aralığının dışındadır.

2. Durum için:
- k=1  ⟹  x=3π2k=1 \implies x = \frac{3\pi}{2} değeri (0,π)(0, \pi) aralığının dışındadır ve bu durumdan aralığa uyan geçerli bir kök elde edilmez.
Belirtilen sınırlı aralıktaki kökleri tespit etmek ve paydanın sıfır olma durumunu inceleyerek hatalı kökleri ayıklamak için.
4
Bulunan geçerli köklerin toplamını hesaplamak.
Geçerli kökler π10\frac{\pi}{10} ve 9π10\frac{9\pi}{10} olarak bulunmuştur. Toplamları:
π10+9π10=10π10=π\frac{\pi}{10} + \frac{9\pi}{10} = \frac{10\pi}{10} = \pi radyandır.
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Trigonometrik Denklemler ve Çözüm Kümelerinde Tanımsızlık Kontrolü
Rate this question

Topics

Trigonometrik Denklemler

More questions from this topic