Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir f fonksiyonu için - f(0) = 2 - f(3) = 4 - f(4) = 7 - f(5) = 10 \neşitlikleri veriliyor. Buna göre, \int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \cdot f'\left(\sqrt{x^2 + 9}\right) \, dx integralinin değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir f fonksiyonu için - f(0) = 2 - f(3) = 4 … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir $f$ fonksiyonu için
- $f(0) = 2$
- $f(3) = 4$
- $f(4) = 7$
- $f(5) = 10$

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \cdot f'\left(\sqrt{x^2 + 9}\right) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

A
5
B
14
6Answer
D
-6
E
8

Answer

Verilen integralde

u = \sqrt{x^2 + 9}

dönüşümü uygulandığında

du = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \, dx

elde edilir. İntegral sınırları alt sınır için

3

ve üst sınır için

5

olarak güncellenir. Bu durumda integral

\int_{3}^{5} f'(u) \, du = f(5) - f(3)

şekline dönüşür. Verilen değerler yerine yazıldığında

10 - 4 = 6

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

Değişken değiştirme için uygun dönüşüm belirlenir ve diferansiyeli alınır.

u = \sqrt{x^2 + 9}

dönüşümü yapılırsa her iki tarafın diferansiyeli alınarak

du = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \, dx

elde edilir.

İntegral içindeki ifadenin türevi ile ilişkisini kurarak integrali daha basit bir forma getirmek amacıyla bu dönüşüm tercih edilir.

Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 0 \implies u = \sqrt{0^2 + 9} = 3

ve üst sınır için

x = 4 \implies u = \sqrt{4^2 + 9} = 5

olur.

Değişken değiştiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.

Yeni sınırlar ve değişkenler integralde yerine yazılarak integral hesaplanır.

\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \cdot f'\left(\sqrt{x^2 + 9}\right) \, dx = \int_{3}^{5} f'(u) \, du = [f(u)]_{3}^{5} = f(5) - f(3)

elde edilir.

Değişken değiştirme sonrası elde edilen integral temel integral alma kuralları yardımıyla çözülür.

Soruda verilen fonksiyon değerleri yerine yazılarak nihai sonuca ulaşılır.

f(5) - f(3) = 10 - 4 = 6

bulunur.

İntegralin sonucunu sayısal bir değere dönüştürmek için verilen fonksiyon değerleri kullanılır.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve integralin temel teoremi yardımıyla hesaplanması.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic