Examkin

Question

Difficulty: MediumParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Analitik düzlemde, y=x2−4x+ay = x^2 - 4x + a parabolü ile y=2x+1y = 2x + 1 doğrusu AA ve BB noktalarında kesişmektedir. AA ve BB noktalarının apsisleri arasındaki fark 44 birim olduğuna göre, aa gerçek sayısı kaçtır?

  1. A
    10
  2. B
    9
  3. 6Answer
  4. D
    4
  5. E
    -15

Answer

Kesişim noktalarının apsisleri arasındaki farkın 4 birim olmasını sağlayan a gerçek sayısı 6'dır.
Ortak çözüm denklemi olan x2−6x+a−1=0x^2 - 6x + a - 1 = 0 denkleminin kökleri kesişim noktalarının apsisleridir. Apsisler arasındaki fark 4 birim olduğundan kökler farkı ∣x1−x2∣=4|x_1 - x_2| = 4 olur. İkinci dereceden denklemlerde kökler farkı ile kökler toplamı ve çarpımı arasındaki (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 ilişkisi kullanılarak 16=36−4(a−1)16 = 36 - 4(a-1) eşitliğine ulaşılır. Buradan a=6a = 6 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyip ortak çözüm denklemini elde edin.
x2−4x+a=2x+1  ⟹  x2−6x+a−1=0x^2 - 4x + a = 2x + 1 \implies x^2 - 6x + a - 1 = 0
Kesişim noktalarının apsisleri, bu ikinci dereceden denklemin kökleridir.
2
Elde edilen denklemin kökleri x1x_1 ve x2x_2 olmak üzere, kökler toplamı ve kökler çarpımı formüllerini yazın.
x1+x2=6x_1 + x_2 = 6 ve x1⋅x2=a−1x_1 \cdot x_2 = a - 1
Kökler arasındaki farkı katsayılara bağlamak için kök-katsayı ilişkilerini kullanmamız gerekir.
3
Köklerin farkının mutlak değeri ∣x1−x2∣=4|x_1 - x_2| = 4 bilgisini kullanarak özdeşlik yardımıyla aa değerini hesaplayın.
(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2  ⟹  16=36−4(a−1)  ⟹  16=40−4a  ⟹  4a=24  ⟹  a=6(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 \implies 16 = 36 - 4(a - 1) \implies 16 = 40 - 4a \implies 4a = 24 \implies a = 6
İki kök arasındaki farkın karesi, kökler toplamı ve çarpımı cinsinden ifade edilerek bilinmeyen parametre bulunur.

Key Concept

Parabol ile doğrunun ortak çözüm denkleminin kökleri ve kök-katsayı ilişkileri

Alternative Method

Kökler farkı formülü olan ∣x1−x2∣=Δ∣a∣|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} doğrudan kullanılabilir. x2−6x+a−1=0x^2 - 6x + a - 1 = 0 denkleminde baş katsayı 11 olduğundan, ∣x1−x2∣=Δ=4  ⟹  Δ=16|x_1 - x_2| = \sqrt{\Delta} = 4 \implies \Delta = 16 olur. Δ=(−6)2−4⋅1⋅(a−1)=36−4a+4=40−4a\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 1) = 36 - 4a + 4 = 40 - 4a olduğundan, 40−4a=16  ⟹  4a=24  ⟹  a=640 - 4a = 16 \implies 4a = 24 \implies a = 6 elde edilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

More questions from this topic