Examkin

Question

Difficulty: HardDeğişken Değiştirme Yöntemi
Her xx gerçel sayısı için sürekli olan bir ff fonksiyonu için
∫12f(x) dx=4\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4
∫14f(x) dx=10\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 10

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12(x⋅f(x2)+f(3−x)) dx\int_{1}^{2} \left( x \cdot f(x^2) + f(3 - x) \right) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

  1. A
    1
  2. B
    6
  3. C
    8
  4. 9Answer
  5. E
    14

Answer

İntegralin doğru değeri 9'dur.
Soruda verilen integral iki ayrı integralin toplamı olarak yazılabilir. İlk kısımda u=x2u = x^2 dönüşümü ile sınırlar 1'den 4'e güncellenir ve 12∫14f(u) du=5\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du = 5 değeri elde edilir. İkinci kısımda ise v=3−xv = 3 - x dönüşümüyle sınırlar 1'den 2'ye güncellenir ve ∫12f(v) dv=4\int_{1}^{2} f(v) \, dv = 4 değeri elde edilir. Bu iki değer toplandığında doğru sonuç 9 olur.

Step-by-Step Solution

1
İlk integral olan ∫12x⋅f(x2) dx\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx ifadesinde u=x2u = x^2 değişken değiştirmesi yapılır.
Diferansiyel alındığında du=2x dx⇒x dx=12dudu = 2x \, dx \Rightarrow x \, dx = \frac{1}{2} du olur. Sınırlar güncellendiğinde x=1⇒u=1x = 1 \Rightarrow u = 1 ve x=2⇒u=4x = 2 \Rightarrow u = 4 elde edilir. Bu durumda integral 12∫14f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du haline gelir.
İntegrali bilinen bir sınır aralığında ff fonksiyonu cinsinden yazabilmek.
2
İlk integralin değeri verilen ∫14f(x) dx=10\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 10 bilgisi kullanılarak hesaplanır.
12∫14f(u) du=12⋅10=5\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 bulunur.
Soruda verilen belirli integral değerini yerine yerleştirmek.
3
İkinci integral olan ∫12f(3−x) dx\int_{1}^{2} f(3 - x) \, dx ifadesinde v=3−xv = 3 - x değişken değiştirmesi yapılır.
Diferansiyel alındığında dv=−dx⇒dx=−dvdv = -dx \Rightarrow dx = -dv olur. Sınırlar güncellendiğinde x=1⇒v=2x = 1 \Rightarrow v = 2 ve x=2⇒v=1x = 2 \Rightarrow v = 1 elde edilir. İntegral ∫21f(v)⋅(−dv)=∫12f(v) dv\int_{2}^{1} f(v) \cdot (-dv) = \int_{1}^{2} f(v) \, dv biçimine dönüşür.
İkinci integrali de bilinen integral sınırları cinsinden ifade etmek.
4
İkinci integralin değeri hesaplanır ve iki integralin sonuçları toplanır.
Verilen ∫12f(x) dx=4\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 4 bilgisine göre ikinci integralin değeri 4'tür. Toplam sonuç ise 5+4=95 + 4 = 9 olarak bulunur.
Sorulan ifadenin nihai değerine ulaşmak.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel katsayılarının doğru hesaplanması.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Değişken Değiştirme Yöntemi

More questions from this topic